Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2016

Question

Joãozinho distribuiu bolas em caixas numeradas de 1 a 2016. Ele fez isso de forma que o número total de bolas, em quaisquer cinco caixas consecutivas, fosse sempre o mesmo. Na figura abaixo estão indicadas as quantidades de bolas em algumas caixas; a figura também mostra que Joãozinho colocou 3 e 7 bolas em duas caixas vizinhas. Quantas bolas ele colocou na última caixa?

Sequência de caixas numeradas contendo bolas: Caixa 1 com ?, Caixa 2 com 5 bolas, Caixa 3 com 9 bolas, Caixa 4 com 1 bola, Caixa 5 com ?, seguidas de reticências, duas caixas vizinhas com 3 bolas e 7 bolas, reticências e Caixa 2016 com ?.

A
1
B
3
C
5
D
7
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Joãozinho distribuiu bolas em caixas numeradas de 1 a 2016. Ele fez isso de forma que o número total de bolas, em quaisquer cinco caixas consecutivas, fosse sempre o mesmo. Na figura abaixo estão indicadas as quantidades de bolas em algumas caixas; a figura também mostra que Joãozinho colocou 3 e 7 bolas em duas caixas vizinhas. Quantas bolas ele colocou na última caixa?

Sequência de caixas numeradas contendo bolas: Caixa 1 com ?, Caixa 2 com 5 bolas, Caixa 3 com 9 bolas, Caixa 4 com 1 bola, Caixa 5 com ?, seguidas de reticências, duas caixas vizinhas com 3 bolas e 7 bolas, reticências e Caixa 2016 com ?.

A
1
B
3
C
5
D
7
E
9

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como o número total de bolas em cinco caixas consecutivas é sempre o mesmo, a quantidade de bolas da primeira até a quinta caixa deve ser igual à quantidade de bolas da segunda até a sexta caixa:

(\text{nº de bolas na Caixa 1}) + 5 + 9 + 1 + (\text{ nº de bolas na Caixa 5}) =

5 + 9 + 1 + (\text{nº de bolas na Caixa 5}) + (\text{nº de bolas na Caixa 6})

Logo, (\text{nº de bolas na Caixa 1}) = (\text{nº de bolas na Caixa 6}).

Pelo mesmo motivo, começando da segunda caixa e depois na terceira caixa,

5 + 9 + 1 + (\text{nº de bolas na Caixa 5}) + (\text{nº de bolas na Caixa 6}) =

9 + 1 + (\text{nº de bolas na Caixa 5}) + (\text{nº de bolas na Caixa 6}) + (\text{nº de bolas na Caixa 7}).

Logo, o número de bolas na Caixa 7 é 5.

De modo análogo, vemos que o número de bolas da Caixa 8 é 9, o número de bolas na Caixa 9 é 1, que a Caixa 10 possui o mesmo número de bolas que o da Caixa 5 e a Caixa 11, o mesmo número de bolas que o da Caixa 6, o qual é igual ao número de bolas na Caixa 1, como vimos acima. As quantidades de bolas repetem-se a cada cinco caixas.

Na ilustração há a informação de que as caixas contendo 3 e 7 bolas são vizinhas; para que isto ocorra, a Caixa 1 deve conter 7 bolas e as caixas 5 e 6 devem conter, respectivamente, 3 e 7 bolas. Assim, os conteúdos das caixas formam a sequência 7, 5, 9, 1, 3, 7, 5, 9, 1, 3 ....

De fato, não pode ocorrer que a primeira caixa contenha 3 bolas, pois isto geraria a sequência 3, 5, 9, 1, 7, 3, 5, 9, 1, 7, ... e a ordem entre 3 e 7 seria incompatível com o que aparece na ilustração no enunciado.

Para descobrir o conteúdo da Caixa 2016, fazemos a divisão de 2016 por 5; o resto é 1 e isto nos diz que o conteúdo da Caixa 2016 é o mesmo que o da Caixa 1, ou seja, que a Caixa 2016 contém 7 bolas.

Solução 2: (utilizando Álgebra)

Sejam x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 e x_6 os números de bolas distribuídas em seis caixas consecutivas, respectivamente. Como o número total de bolas em cincos caixas consecutivas é sempre o mesmo, segue que x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 e, consequentemente, x_1 = x_6. Assim, caixas cujos números diferem por cinco unidades contêm o mesmo número de bolas. Como em duas caixas consecutivas aparecem 3 e 7 bolas, concluímos que os conteúdos das caixas formam a sequência 7, 5, 9, 1, 3, 7, 5, 9, 1, 3 ..., pois a outra possibilidade, 3, 5, 9, 1, 7, 3, 5, 9, 1, 7 ..., é incompatível com a informação da ilustração. Assim, a caixa de número 2016 contém a mesma quantidade de bolas que a Caixa 1, a saber, 7 bolas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Se a soma de quaisquer cinco caixas consecutivas é sempre a mesma, a sequência se repete de 5 em 5. Veja: a soma das caixas 1 a 5 é igual à soma das caixas 2 a 6. Cancelando as caixas 2 a 5, sobra que a caixa 1 tem o mesmo número de bolas que a caixa 6. O mesmo vale para qualquer par de caixas separadas por 5 posições.

Assim, caixas com o mesmo resto na divisão por 5 têm a mesma quantidade de bolas.

Caixa 2: 5 bolas; caixa 3: 9 bolas; caixa 4: 1 bola.
Na figura, as caixas vizinhas com 3 e 7 bolas formam um par de posições consecutivas. Os valores 5, 9, 1 ocupam os restos 2, 3, 4. Os pares consecutivos com 3 e 7 só podem ser os restos 0 e 1, ou seja, caixa 5 = 3 e caixa 1 = 7 (a ordem 3, 7 coloca o 3 antes do 7, e o resto 0 vem logo antes do resto 1 na repetição). Então a sequência é: caixa 1 = 7, caixa 2 = 5, caixa 3 = 9, caixa 4 = 1, caixa 5 = 3.
Os outros pares consecutivos possíveis (5 e 9, 9 e 1, 1 e 3) não são 3 e 7, e 3 e 7 aparecem juntos apenas em 3, 7 (caixas 5 e 6).
A caixa 2016 tem resto 2016 = 5\cdot 403 + 1, ou seja, resto 1, igual à caixa 1.

Logo, a caixa 2016 tem 7 bolas.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa a quantidade da caixa 4, confundindo o resto da posição 2016.
BUsa o valor da caixa 5 (resto 0), mas 2016 deixa resto 1.
CUsa o valor da caixa 2, mas 2016 não tem resto 2.
EUsa o valor da caixa 3, mas 2016 não tem resto 3.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 18 no caderno Nível 1 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗