Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Se a soma de quaisquer cinco caixas consecutivas é sempre a mesma, então a quantidade de bolas se repete de 5 em 5 caixas. Isso vale porque, ao comparar as caixas n a n+4 com as caixas n+1 a n+5, a soma só continua igual se a caixa n tiver o mesmo número que a caixa n+5.

Assim, a sequência é periódica com período 5. Chamando de a e e as bolas das caixas 1 e 5, o bloco é: a, 5, 9, 1, e, que se repete.

O que sabemos pela figura: as duas caixas vizinhas com 3 e 7 bolas aparecem nas posições do período em que e (caixa 5) é seguida por a (caixa 6, igual à caixa 1). Essa é a única vizinhança (?,?) do bloco; as outras vizinhas já têm valores conhecidos (5, 9, 1) e nenhuma é 3 ou 7. Logo e=3 e a=7.

O bloco é então 7, 5, 9, 1, 3.

Para a caixa 2016, calculamos a posição no período:

1. 2016 = 5\cdot 403 + 1.
2. O resto é 1, então a caixa 2016 ocupa a mesma posição da caixa 1.
3. A caixa 1 tem a = 7 bolas.

Portanto, na última caixa há 7 bolas.

Alternativa D.

Pegadinha: Confundir o resto: 2016 dividido por 5 deixa resto 1 (não 0), então a caixa 2016 equivale à caixa 1, não à caixa 5 (3 bolas, alternativa B).

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ o valor da caixa 4, posição que não corresponde ao resto da divisão de 2016 por 5.
• BÉ o valor da caixa 5 (resto 0), mas 2016 deixa resto 1.
• CÉ o valor da caixa 2, posição errada no período.
• EÉ o valor da caixa 3, posição errada no período.

Assunto: Sequências e padrões.

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