Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2016

Question

João e Maria correm com velocidades constantes e em sentidos contrários a partir de um mesmo ponto da pista de 3 000 metros representada na figura. Depois de correr 1 200 metros, João encontra Maria pela primeira vez. Quando ele terminar a primeira volta, quantos metros ela terá corrido?

Pista de corrida em formato de circuito fechado irregular com uma bandeira vermelha no topo marcando o ponto de partida. A partir da bandeira, duas setas indicam sentidos opostos ao longo da pista: João corre para a esquerda e Maria corre para a direita.

A
2 000
B
2 500
C
3 600
D
4 500
E
7 500

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

João e Maria correm com velocidades constantes e em sentidos contrários a partir de um mesmo ponto da pista de 3 000 metros representada na figura. Depois de correr 1 200 metros, João encontra Maria pela primeira vez. Quando ele terminar a primeira volta, quantos metros ela terá corrido?

Pista de corrida em formato de circuito fechado irregular com uma bandeira vermelha no topo marcando o ponto de partida. A partir da bandeira, duas setas indicam sentidos opostos ao longo da pista: João corre para a esquerda e Maria corre para a direita.

A
2 000
B
2 500
C
3 600
D
4 500
E
7 500

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como João e Maria partem do mesmo ponto da pista e em sentidos contrários, mantendo constantes suas respectivas velocidades, no momento em que João tiver corrido 1200 metros da pista, Maria terá corrido 3000 - 1200 = 1800 metros da mesma (quando ambos se encontram pela primeira vez). Assim, enquanto João corre 1200 metros, Maria corre 1800. Portanto, quando João correr 3000 metros nessa pista, Maria terá corrido (3000 \times 1800) \thickspace / \thickspace 1200 = 4500 metros.

Uma maneira simples de visualizar a solução consiste em dividir a pista em cinco trechos de 600 metros cada e acompanhar os movimentos de João e Maria. Enquanto João corre dois desses trechos, Maria corre três.

[Figura: Esquema do circuito da pista fechada com o ponto de partida indicado por uma bandeira (3000 m). O trajeto está dividido em marcações a cada 600 metros, indicando as distâncias percorridas por João em um sentido (600, 1200, 1800, 2400) e por Maria no sentido oposto (600, 1200, 1800, 2400).]

Outra solução: a velocidade de Maria é 3/2 = 1{,}5 vezes a de João, já que ele corre 1200 metros no mesmo tempo que ela corre 1800 metros. Logo, enquanto este corre 3000 metros, ela corre 1{,}5 \times 3000 = 4500 metros.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Como os dois partem do mesmo ponto em sentidos contrários, no primeiro encontro eles juntos percorreram uma volta inteira da pista, ou seja, 3 000 m.

João correu 1 200 m até o encontro.
Logo, Maria correu 3\,000 - 1\,200 = 1\,800\ \text{m} no mesmo tempo.
Como as velocidades são constantes, a razão entre as distâncias percorridas no mesmo tempo é sempre a mesma:

\frac{\text{Maria}}{\text{João}} = \frac{1\,800}{1\,200} = \frac{3}{2}

Quando João terminar a primeira volta, ele terá corrido 3 000 m. Então Maria terá corrido x tal que:

\frac{x}{3\,000} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = 4\,500\ \text{m}

Ou seja, Maria é 1,5 vez mais rápida que João: enquanto ele corre 3 000 m, ela corre 4 500 m.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão tem base na razão das velocidades; ignora que Maria é mais rápida que João.
BValor sem relação com a proporção 3/2 entre as distâncias percorridas.
CMultiplica 1 200 por 3 (ou 1 800 por 2), sem usar a proporção correta.
EMultiplica 3 000 por 2,5, erro de razão; a razão correta é 1,5.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Razão e proporção.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 9 no caderno Nível 2 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗