Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2016

Question

O triângulo equilátero ABC da figura é formado por 36 triângulos equiláteros menores, cada um deles com área 1. Qual é a soma das áreas dos quatro triângulos amarelos?

Triângulo equilátero ABC subdividido em 36 triângulos menores de mesma área, contendo quatro triângulos sombreados em amarelo de formatos e posições variadas

A
13
B
14
C
15
D
16
E
17

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O triângulo equilátero ABC da figura é formado por 36 triângulos equiláteros menores, cada um deles com área 1. Qual é a soma das áreas dos quatro triângulos amarelos?

Triângulo equilátero ABC subdividido em 36 triângulos menores de mesma área, contendo quatro triângulos sombreados em amarelo de formatos e posições variadas

A
13
B
14
C
15
D
16
E
17

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Solução oficial da OBMEP

Para facilitar a notação, vamos escrever (\text{R}) para representar a área da região \text{R}. Vamos nomear as quatro regiões amarelas pelas letras \text{P}, \text{Q}, \text{R} e \text{S}, conforme indicado na figura ao lado.

[Figura: Grande triângulo subdividido em uma malha de triângulos menores, com as quatro regiões destacadas em amarelo rotuladas como P (no topo), Q (no canto inferior esquerdo), R (à direita) e S (no centro).]

Observemos que (\text{P}) = (\text{Q}). De fato, as duas regiões são triângulos com as mesmas medidas de base e altura. Temos: (\text{Q}) = (1/2) \times 4 = 2, pois \text{Q} é a metade de um paralelogramo formado por quatro triângulos menores.

Por outro lado, a região \text{R} é a parte central de um hexágono formado por 6 triângulos menores, obtida tomando sempre a metade de cada um desses triângulos, conforme indicado na figura ao lado. Logo, (\text{R}) = 6 \times (1/2) = 3.

[Figura: Hexágono composto por seis triângulos equiláteros menores, com a região amarela central dividida em metades, e uma seta apontando para a decomposição que mostra cada metade de triângulo.]

Finalmente, obtemos que (\text{S}) = 7. De fato, decompondo a região \text{S} em 4 regiões, temos um triângulo menor no centro de \text{S} e três triângulos iguais em seu entorno, como indicado na figura ao lado. O triângulo central tem área 1 e os outros três têm área 2, pois são a metade de um paralelogramo formado por 4 triângulos menores. Assim, (\text{S}) = 1 + 3 \times 2 = 7.

[Figura: Hexágono contendo a região S dividida em um triângulo central equilátero e três triângulos obtusos adjacentes a ele.]

Consequentemente, a área total destacada em amarelo é igual a

2 \times (\text{Q}) + (\text{R}) + (\text{S}) = (2 \times 2) + 3 + 7 = 14.

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Resolução comentada

Cada triângulo pequeno tem área 1. Um triângulo com base de b lados pequenos e altura de h fileiras tem área b\cdot h (o triângulo pequeno é o caso b=1, h=1, de área 1 por definição). Assim, dá para medir cada triângulo amarelo na malha. As medidas abaixo foram lidas na figura.

Triângulo de cima: base de 2 lados e altura de 1 fileira, então a área é 2\cdot 1=2.
Triângulo do canto de A: também tem base 2 e altura 1, então a área é 2.
Triângulo da direita: o lado vertical mede 2 fileiras de altura e a largura é 1,5 lado. A área é \frac{1}{2}\cdot 138\cdot 120 em pixels, e o triângulo pequeno vale \frac{1}{2}\cdot 80{,}8\cdot 69{,}3. A razão dá cerca de 3, então a área é 3.
Triângulo grande do meio: pela fórmula do determinante com vetores a partir de um vértice, a razão com o triângulo pequeno dá cerca de 7, então a área é 7.

Soma: 2+2+3+7=14.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubestima a área do triângulo grande do meio, que vale 7 e não 6.
CSuperestima uma das áreas, por exemplo contando 8 para o triângulo grande.
DSuperestima o total; as áreas somam 14 e não 16.
ESuperestima o total; as áreas somam 14 e não 17.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 10 no caderno Nível 2 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗