Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2016

Question

Na figura, os pontos C e F pertencem aos lados BD e AE do quadrilátero ABDE, respectivamente. Os ângulos \widehat{B} e \widehat{E} são retos e os segmentos AB, CD, DE e FA têm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero ACDF?

Quadrilátero ABDE com ângulos retos nos vértices B e E, no qual o ponto C pertence ao lado BD e o ponto F pertence ao lado AE. As medidas indicadas são AB = 10, CD = 2, DE = 7 e FA = 6. O quadrilátero interior ACDF está sombreado.

A
16
B
21
C
31
D
33
E
40

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, os pontos C e F pertencem aos lados BD e AE do quadrilátero ABDE, respectivamente. Os ângulos \widehat{B} e \widehat{E} são retos e os segmentos AB, CD, DE e FA têm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero ACDF?

Quadrilátero ABDE com ângulos retos nos vértices B e E, no qual o ponto C pertence ao lado BD e o ponto F pertence ao lado AE. As medidas indicadas são AB = 10, CD = 2, DE = 7 e FA = 6. O quadrilátero interior ACDF está sombreado.

A
16
B
21
C
31
D
33
E
40

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A área do quadrilátero ACDF é a soma das áreas dos triângulos ACD e ADF. O triângulo ACD tem base CD = 2 e altura AB = 10 relativa à base CD, enquanto o triângulo ADF tem base FA = 6 e altura DE = 7 relativa à base FA. Logo, a área do triângulo ACD é (2 \times 10) \text{ ÷ } 2 = 10 e a área do triângulo ADF é (6 \times 7) \text{ ÷ } 2 = 21. Somando essas áreas, obtemos que o quadrilátero ACDF tem área 31.

[Figura: Esquema geométrico com o quadrilátero ACDF sombreado em cinza, dividido em dois triângulos pela diagonal DA destacada em vermelho. O segmento vertical BD forma ângulo reto em B com AB = 10, e tem marcado o segmento CD = 2. O segmento DE = 7 forma ângulo reto em E com o prolongamento do lado FA = 6.]

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Resolução comentada

A ideia é dividir o quadrilátero ACDF em dois triângulos pela diagonal AD: ACD e ADF. Cada um tem um lado sobre uma reta com um ângulo reto, o que facilita calcular a altura.

Triângulo ACD: a base CD = 2 está sobre a reta BD. A altura relativa a essa base é a distância de A à reta BD, que é AB = 10, pois \widehat{B} é reto. Então:

\text{Área}(ACD)=\frac{2\cdot 10}{2}=10

Triângulo ADF: a base FA = 6 está sobre a reta AE. A altura relativa a essa base é a distância de D à reta AE, que é DE = 7, pois \widehat{E} é reto. Então:

\text{Área}(ADF)=\frac{6\cdot 7}{2}=21

Somando as duas áreas:

10+21=31

A diagonal AD fica dentro do quadrilátero ACDF, então os dois triângulos o preenchem sem sobreposição.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera apenas a área do triângulo ACD (10) somada a 6, ou outra combinação sem sentido, ignorando o cálculo correto do triângulo ADF.
BCalcula só a área do triângulo ADF (21) e esquece o triângulo ACD.
DNão corresponde a nenhuma decomposição correta; resulta de erro de soma ou de áreas.
EUsa o produto 2·10 sem dividir por 2 (20) e 6·7 sem dividir por 2 com outro erro, superestimando a área.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗