Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

Numa corrida de 2 000 metros, André, Bento e Carlos correram com velocidades constantes. André chegou em primeiro lugar, 200 metros à frente de Bento e 290 metros à frente de Carlos. Quando Bento cruzou a linha de chegada, quantos metros ele estava à frente de Carlos?

Ilustração de três corredores em uma pista de corrida curva sobre grama: o primeiro cruza a linha de chegada com os braços abertos em comemoração, enquanto o segundo e o terceiro seguem atrás ao longo da pista.

A
80
B
85
C
90
D
95
E
100

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Numa corrida de 2 000 metros, André, Bento e Carlos correram com velocidades constantes. André chegou em primeiro lugar, 200 metros à frente de Bento e 290 metros à frente de Carlos. Quando Bento cruzou a linha de chegada, quantos metros ele estava à frente de Carlos?

Ilustração de três corredores em uma pista de corrida curva sobre grama: o primeiro cruza a linha de chegada com os braços abertos em comemoração, enquanto o segundo e o terceiro seguem atrás ao longo da pista.

A
80
B
85
C
90
D
95
E
100

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Linha reta representando a pista de corrida com marcações à direita indicando as posições dos corredores: Carlos na marca de 1710 metros, Bento na de 1800 metros (90 metros à frente de Carlos) e André na linha de chegada em 2000 metros (200 metros à frente de Bento).]

Após Bento ter corrido 1800 metros, ele ficou 90 metros à frente de Carlos. Portanto, quando Bento correr mais 1800 \div 9 = 200 metros, ele aumentará a distância para Carlos em mais 90 \div 9 = 10 metros. Logo, ao cruzar a linha de chegada, Bento estará 90 + 10 = 100 metros à frente de Carlos.

Outra solução: Sejam t_1 e t_2 os tempos que André e Bento demoraram, respectivamente, para completarem a corrida. Vamos calcular quanto Carlos correu decorrido o tempo t_2. Denotaremos essa distância por s(t_2) e as velocidades de Bento e Carlos por v_B e v_C, respectivamente. Então,
s(t_2) = v_C \cdot t_2 = v_C \cdot (2000/v_B).

Mas, \frac{v_C}{v_B} = \frac{\frac{1710}{t_1}}{\frac{1800}{t_1}} = \frac{1710}{1800},

logo, s(t_2) = (1710/1800) \cdot 2000 = 1900 metros. Assim, quando Bento cruzou a linha de chegada, Carlos estava 2000 - 1900 = 100 metros atrás dele.

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Resolução comentada

Quando André termina os 2 000 m, Bento percorreu 2000-200=1800 m e Carlos percorreu 2000-290=1710 m.

Como as velocidades são constantes, a distância percorrida é proporcional ao tempo. Então, no mesmo intervalo de tempo, a razão entre as distâncias de Carlos e de Bento é sempre a mesma:

\frac{v_C}{v_B}=\frac{1710}{1800}=\frac{19}{20}

Agora vamos ao momento em que Bento cruza a linha, depois de percorrer 2 000 m. Nesse mesmo tempo, Carlos percorreu:

d_C = 2000\cdot\dfrac{19}{20}
d_C = 1900 m

A diferença entre os dois nesse instante é:

2000-1900=100\ \text{m}

Portanto, quando Bento chega, Carlos ainda está 100 m atrás dele.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem faz 290 − 200 = 90, esquecendo que a diferença entre Bento e Carlos aumenta com o tempo, pois Bento é mais rápido.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base em nenhuma relação correta entre as velocidades.
BValor sem relação com a proporção 19/20 entre as velocidades.
CSubtrai 290 − 200 = 90, ignorando que Carlos continua correndo até Bento chegar.
DValor sem base; não decorre da proporção entre as velocidades.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Razão e proporção.

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Questão 7 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗