Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Pela figura, A é um vértice do cubo. AB é diagonal da face de cima e AC é diagonal da face da frente. Falta a terceira ligação, o segmento BC, para formar um triângulo.

B é o vértice de trás da face de cima, e C é o vértice de baixo à esquerda da face da frente. Então BC também é diagonal de uma face: a face lateral esquerda.

Se a aresta do cubo mede a, toda diagonal de face mede, pelo teorema de Pitágoras:

Logo, no triângulo ABC:

1. AB = a\sqrt{2}
2. AC = a\sqrt{2}
3. BC = a\sqrt{2}

Os três lados são iguais, então o triângulo é equilátero, e todos os seus ângulos medem 60^\circ. Assim, B\hat{A}C = 60^\circ.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconfunde com o ângulo entre a diagonal da face e a aresta, que é de 45°, e não com o ângulo entre duas diagonais.
• Cvalor sem justificativa; não resulta de nenhum triângulo da figura.
• Dsupõe que as diagonais sejam perpendiculares, como as arestas do cubo, o que não vale aqui.
• Econfunde com o ângulo interno do hexágono regular, ou soma ângulos sem formar o triângulo.

Assuntos: Geometria espacial de posição, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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