Questão 4 (Nível 1) da OBMEP 2016

Question

A figura foi construída com triângulos de lados 3\text{ cm}, 7\text{ cm} e 8\text{ cm}. Qual é o perímetro da figura?

Seis triângulos escalenos coloridos (verde, vermelho, azul, rosa, amarelo e laranja) dispostos em torno de um vértice central comum, formando uma figura semelhante a um catavento ou estrela

A
60\text{ cm}
B
66\text{ cm}
C
72\text{ cm}
D
90\text{ cm}
E
108\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura foi construída com triângulos de lados 3\text{ cm}, 7\text{ cm} e 8\text{ cm}. Qual é o perímetro da figura?

Seis triângulos escalenos coloridos (verde, vermelho, azul, rosa, amarelo e laranja) dispostos em torno de um vértice central comum, formando uma figura semelhante a um catavento ou estrela

A
60\text{ cm}
B
66\text{ cm}
C
72\text{ cm}
D
90\text{ cm}
E
108\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

1^a solução: Observemos, em primeiro lugar, que o lado BC do triângulo, como na figura ao lado, mede 7\text{ cm}; já o lado AB, sendo maior que o lado AC, mede 8\text{ cm} e o lado AC, sendo o menor, mede 3\text{ cm}. Segue, então, que o segmento CD mede 8 - 3 = 5\text{ cm} e o perímetro da figura é $6 \times 7 + 6 \times 5 = 72\text{ cm}.

[Figura: Seis triângulos congruentes reunidos em torno de um vértice comum A, formando uma estrela. O triângulo à direita possui vértices A, B e C, com lados AC = 3 e BC = 7, e ângulo no vértice A indicado como 60^\circ. O prolongamento a partir do vértice D de outro triângulo adjacente mostra a indicação 8 - 3 = 5.]

2^a solução: O perímetro de cada um dos triângulos é 3 + 7 + 8 = 18\text{ cm}. Cada um deles tem o lado de 3\text{ cm} apoiado em um lado maior de outro triângulo; tanto esse lado quanto a parte correspondente do outro triângulo não contam para o perímetro da figura. Desse modo, cada triângulo deixa de acrescentar 6\text{ cm} ao perímetro da figura, que é, então, $6 \times 18 - 6 \times 6 = 72\text{ cm}.

Observemos também que, como os seis ângulos que têm vértice em A são iguais e eles somam 360^\circ, então, cada um deles mede 360^\circ \div 6 = 60^\circ. É um fato notável que, em um triângulo de lados 3, 7 e 8, o ângulo entre o menor lado e o maior meça 60^\circ.

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Resolução comentada

O perímetro é a soma dos comprimentos do contorno externo. Por isso, os segmentos tracejados, que ficam dentro da figura, não entram nessa soma.

Observe um dos seis triângulos: o lado mais comprido, de 8\ \text{cm}, vai do centro até uma ponta da figura. O lado mais curto, de 3\ \text{cm}, fica sobre parte do lado comprido do triângulo vizinho. Já o lado de 7\ \text{cm} fica inteiro no contorno.

Em cada lado de 8\ \text{cm}, há um trecho interno de 3\ \text{cm}. Portanto, a parte que aparece no contorno mede:

8-3=5\ \text{cm}.
Cada uma das seis pontas contribui com um lado de 7\ \text{cm} e esse trecho de 5\ \text{cm}:

7+5=12\ \text{cm}.
Assim, o perímetro da figura é:

P=6\cdot12=72\ \text{cm}.

Você também pode conferir somando os perímetros dos seis triângulos: 6\cdot(3+7+8)=108. Nessa soma, cada um dos seis segmentos internos de 3\ \text{cm} foi contado duas vezes. Retirando-os, obtemos 108-2\cdot6\cdot3=72\ \text{cm}.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E confunde a soma dos perímetros dos triângulos com o perímetro do contorno externo da figura.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa 7 + 3 por ponta, mas o trecho exposto do lado maior mede 5 cm, não 3 cm.
BUsa 8 + 3 por ponta, incluindo o lado interno e deixando de considerar corretamente o lado de 7 cm.
DSoma 7 + 8 por triângulo sem descontar os trechos de 3 cm que ficam internos.
ESoma os perímetros dos seis triângulos, contando também os segmentos internos, duas vezes cada.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 4 no caderno Nível 1 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗