Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Chame de p, q e r os lados dos quadrados P, Q e R. Então p^2 = 24, r^2 = 168 e queremos q^2.

O lado de R forma, com o lado de P e a linha horizontal, um triângulo retângulo. Os vértices de R são: o inferior, sobre a linha, e o da esquerda, no canto superior direito de P. O lado de R que liga esses dois vértices é a hipotenusa, e os catetos são o lado de P (vertical, de medida p) e um segmento horizontal x.

Do mesmo jeito, o lado de R que vai do vértice inferior ao da direita, de comprimento r, forma um triângulo retângulo com a linha horizontal e o lado de Q.

O segundo triângulo, formado pelo outro lado de R, tem como hipotenusa r, um cateto vertical q (lado de Q) e um cateto horizontal y. Os dois triângulos são congruentes por rotação de 90^\circ, pois R é quadrado: o cateto vertical de um é igual ao horizontal do outro.

Assim, no triângulo da esquerda os catetos são p (vertical) e x (horizontal). No da direita, os catetos são x (vertical) e p (horizontal), mas o vertical do segundo é o lado de Q e ali ele vale q. Logo q = x.

1. Triângulo da esquerda: p^2 + x^2 = r^2
2. Substituindo: 24 + x^2 = 168
3. x^2 = 144

Como q = x, a área de Q é q^2 = 144\ \text{cm}^2.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a conta; não vem de 168-24 nem de outra relação entre os triângulos.
• BValor sem justificativa geométrica; não resulta do teorema de Pitágoras no triângulo.
• CValor sem justificativa; 121 não decorre de 168-24.
• ECorresponde a 168-12, um cálculo sem sentido geométrico, ou a uma subtração errada.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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