Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

O gráfico representa o percentual de aumento do preço de dois produtos, A e B, em uma mercearia no primeiro e no segundo semestres do ano passado. As afirmativas abaixo referem-se ao período completo do ano passado. Qual delas é a correta?

Gráfico de barras verticais comparando o percentual de aumento dos produtos A e B. No eixo horizontal, há dois períodos: "1º semestre" e "2º semestre". No 1º semestre, a barra rosa correspondente ao produto A indica 7% e a barra azul correspondente ao produto B indica 5%. No 2º semestre, a barra rosa do produto A indica 6% e a barra azul do produto B indica 7%.

A
O aumento percentual do preço de B foi maior do que o de A.
B
O aumento percentual dos preços dos dois produtos foi o mesmo.
C
O aumento percentual do preço de A foi de exatamente 13\%.
D
O preço de A diminuiu e o de B aumentou.
E
O aumento percentual do preço de B foi maior do que 12\%.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Aumentos, descontos e variação percentual

O gráfico representa o percentual de aumento do preço de dois produtos, A e B, em uma mercearia no primeiro e no segundo semestres do ano passado. As afirmativas abaixo referem-se ao período completo do ano passado. Qual delas é a correta?

Gráfico de barras verticais comparando o percentual de aumento dos produtos A e B. No eixo horizontal, há dois períodos: "1º semestre" e "2º semestre". No 1º semestre, a barra rosa correspondente ao produto A indica 7% e a barra azul correspondente ao produto B indica 5%. No 2º semestre, a barra rosa do produto A indica 6% e a barra azul do produto B indica 7%.

A
O aumento percentual do preço de B foi maior do que o de A.
B
O aumento percentual dos preços dos dois produtos foi o mesmo.
C
O aumento percentual do preço de A foi de exatamente 13\%.
D
O preço de A diminuiu e o de B aumentou.
E
O aumento percentual do preço de B foi maior do que 12\%.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Devemos fazer uma análise das alternativas uma a uma. Inicialmente faremos isto com uma abordagem qualitativa.

[Figura: Gráfico de barras verticais comparando os produtos A e B em dois períodos. No 1º semestre, a barra do produto A atinge 7% e a do produto B atinge 5%. No 2º semestre, a barra do produto A atinge 6% e a do produto B atinge 7%.]

a) O aumento percentual do preço de B foi maior do que o de A.

Esta alternativa é incorreta pois há dois patamares de A e B de mesmo tamanho (7%) e um patamar de B menor do que o de A. Logo, A teve o maior aumento percentual de preço.

b) O aumento percentual dos preços dos dois produtos foi o mesmo.

Essa alternativa também é falsa. Como dois dos patamares são iguais e o segundo patamar de A é maior do que o primeiro patamar de B, então o aumento percentual de A foi maior do que o de B.

c) O aumento percentual do preço de A foi de exatamente 13%.

Também é falsa. A segunda taxa de aumento do produto A (6%) incide sobre o preço já acrescido do primeiro aumento (7%). Assim os aumentos percentuais não se somam e, com certeza, o aumento percentual anual do produto A foi maior do que 13%.

d) O preço de A diminuiu e o de B aumentou.

Esta afirmação é claramente falsa. Os preços não diminuíram. O que houve foi a diminuição do percentual de aumento do preço do produto A. Os preços de A e de B com certeza aumentaram.

e) O aumento percentual do preço de B foi maior do que 12%.

Essa é a afirmação verdadeira, já que o segundo percentual de aumento de B incide sobre o preço já acrescido do primeiro aumento.

Todas as conclusões acima também podem ser obtidas quantitativamente.

a) O produto A aumentou 7%, depois, 6%, o que dá um percentual total de 13,42%. De fato, se \text{P}_\text{A} é o preço inicial de A, o preço final depois dos dois semestres é

\text{P}_\text{A} + (7/100) \text{P}_\text{A} + (6/100) (\text{P}_\text{A} + (7/100) \text{P}_\text{A}) = \text{P}_\text{A} + (13{,}42/100) \text{P}_\text{A}.

Do mesmo modo, se \text{P}_\text{B} é o preço inicial do produto B, o preço de B depois dos aumentos nos dois semestres será \text{P}_\text{B} + (12{,}35/100) \text{P}_\text{B}.

b) Como vimos acima, o aumento de preços não foi igual para os dois produtos. Portanto, esta alternativa é falsa.

c) Vimos também que o aumento de preço para o produto A foi de 13,42%. Portanto, esta alternativa também é falsa.

d) Pelo exposto acima, os preços de A e de B aumentaram. Houve um decaimento na porcentagem do aumento do produto A de um semestre para o outro.

e) O aumento do preço de B foi de 12,35%, portanto, maior do que 12%. Alternativa correta.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Aumentos percentuais sucessivos não se somam: cada um incide sobre o preço já reajustado. Por isso o aumento do ano é o produto dos fatores de cada semestre.

Produto A: 7% no 1º semestre e 6% no 2º.

Fator do 1º semestre: 1{,}07.
Fator do 2º semestre: 1{,}06.
Fator do ano: 1{,}07 \times 1{,}06 = 1{,}1342.

Logo, A subiu 13{,}42\%.

Produto B: 5% no 1º semestre e 7% no 2º.

Fatores: 1{,}05 e 1{,}07.
Fator do ano: 1{,}05 \times 1{,}07 = 1{,}1235.

Logo, B subiu 12{,}35\%.

Comparando com as alternativas:

B subiu 12{,}35\% e A subiu 13{,}42\%, então o aumento de A foi maior (A e B falsas).
A não subiu exatamente 13%, mas 13{,}42\% (C falsa).
Os dois preços aumentaram, nenhum diminuiu (D falsa).
B subiu 12{,}35\%, que é maior que 12\% (E verdadeira).

Observe que somando as taxas daria 12\% para B, mas o efeito composto passa disso.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem soma as taxas (7% + 6% = 13%) em vez de multiplicar os fatores; a E também parece falsa para quem soma 5% + 7% = 12%.

Por que as outras alternativas estão erradas

AB subiu 12,35% e A subiu 13,42%, então o aumento de A foi maior.
BOs aumentos acumulados são diferentes: 13,42% para A e 12,35% para B.
CSoma 7% + 6% sem considerar os juros compostos; o correto é 13,42%.
DOs dois produtos tiveram aumento nos dois semestres, nenhum diminuiu.

Assuntos: Aumentos, descontos e variação percentual, Leitura e interpretação de gráficos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 4 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗