Bruno tem 5 figurinhas idênticas com a bandeira da Alemanha, 6 com a bandeira do Brasil e 4 com a da Colômbia. Ele quer fazer um pacote com pelo menos 3 dessas figurinhas. De quantas maneiras ele pode fazer esse pacote?
A
110
B
120
C
200
D
201
E
210
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Como as figurinhas de cada país são idênticas, um pacote fica determinado apenas pela quantidade de cada bandeira: (a,b,c), com 0\le a\le 5, 0\le b\le 6 e 0\le c\le 4.
Total de combinações possíveis, contando o pacote vazio: 6\cdot 7\cdot 5 = 210.
Agora tiramos os pacotes com menos de 3 figurinhas, ou seja, com 0, 1 ou 2 figurinhas no total.
Total 0: só (0,0,0), 1 pacote.
Total 1: uma figurinha de um dos 3 países, 3 pacotes.
Total 2: duas do mesmo país ((2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), todas permitidas), 3 pacotes; ou uma de dois países diferentes, \binom{3}{2}=3 pacotes. Ao todo, 6 pacotes.
Pacotes com menos de 3 figurinhas: 1+3+6=10.
Pacotes com pelo menos 3 figurinhas:
210-10=200
Alternativa C.
Pegadinha: A alternativa E (210) engana quem só multiplica 6\cdot7\cdot5 e esquece de excluir os pacotes com menos de 3 figurinhas; a D (201) engana quem desconta só o pacote vazio.
Por que as outras alternativas estão erradas
AValor sem base na contagem; não corresponde a nenhum raciocínio correto.
BSubtrai valor demais (90) ou conta errado; não é 210 menos 10.
DSubtrai só 9 pacotes, esquecendo um dos casos com menos de 3 figurinhas.
EEsquece de descontar os pacotes com 0, 1 ou 2 figurinhas.
