Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

O símbolo proposto para os Jogos Escolares de Quixajuba é formado por seis anéis entrelaçados como na figura. Cada um dos anéis deve ser pintado com uma das três cores da bandeira da cidade (azul, verde ou rosa), de modo que quaisquer dois anéis entrelaçados tenham cores diferentes. Quantas são as maneiras de pintar esse símbolo?

Seis anéis circulares entrelaçados

A
24
B
36
C
48
D
60
E
72

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

O símbolo proposto para os Jogos Escolares de Quixajuba é formado por seis anéis entrelaçados como na figura. Cada um dos anéis deve ser pintado com uma das três cores da bandeira da cidade (azul, verde ou rosa), de modo que quaisquer dois anéis entrelaçados tenham cores diferentes. Quantas são as maneiras de pintar esse símbolo?

Seis anéis circulares entrelaçados

A
24
B
36
C
48
D
60
E
72

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Numerando os anéis como na figura e iniciando a contagem pelas possibilidades de pintura do anel I, dividimos o problema em 3 casos.

[Figura: Seis anéis entrelaçados numerados de I a VI com algarismos romanos]

O anel III deve ser pintado com a mesma cor que o anel II, o que garante que os anéis III e IV tenham cores diferentes. Então, pelo princípio multiplicativo, temos as seguintes possibilidades de escolha das cores:

I	II	III	IV	V	VI
3	2	1	2	1	2	\to 24

O anel III deve ser pintado com cor diferente do anel II e o anel IV com a mesma cor que o anel III. Então, pelo princípio multiplicativo, temos as seguintes possibilidades de escolha das cores:

I	II	III	IV	V	VI
3	2	1	1	2	2	\to 24

O anel III deve ser pintado com cor diferente do anel II e o anel IV com cor diferente do anel III. Então, pelo princípio multiplicativo, temos as seguintes possibilidades de escolha das cores:

I	II	III	IV	V	VI
3	2	1	1	1	2	\to 12

Logo, o número de maneiras possíveis de pintar o símbolo é 24 + 24 + 12 = 60.

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Resolução comentada

Pela figura, cinco anéis formam um ciclo (um pentágono): topo, esquerda alta, direita alta, esquerda baixa e direita baixa. Cada um se entrelaça com os dois vizinhos. O sexto anel, embaixo à direita, se entrelaça só com o anel da direita baixa.

Primeiro, conte as colorações do ciclo de 5 anéis com 3 cores, vizinhos diferentes. Para um ciclo de n vértices e k cores, o número é (k-1)^n+(-1)^n(k-1).

(3-1)^5+(-1)^5(3-1)=32-2=30

Conferindo: se o ciclo tivesse 5 anéis em fila (cadeia), seriam 3\cdot2^4=48 colorações. Dessas, 18 têm as pontas iguais e 30 têm as pontas diferentes, e o ciclo exige pontas diferentes. Isso confirma 30.

Depois, o sexto anel toca apenas um anel já pintado, então só não pode repetir a cor dele. Sobram 2 opções.

30\cdot 2=60

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C (48) engana quem trata os 5 anéis como uma fila e esquece que o primeiro e o último também se entrelaçam, formando um ciclo.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base na contagem correta do ciclo de 5 anéis e do sexto anel.
BErra a contagem do ciclo, por exemplo contando 18 colorações em vez de 30.
CUsa 48, que é a contagem da cadeia aberta de 5 anéis, ignorando que as pontas também se entrelaçam.
EValor sem base na contagem correta; excede o total de 60.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗