Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Sejam a,b,c,d,e as quantidades de balas e S o total. Ao escolher quatro saquinhos, deixamos um de fora, então cada soma vale S - x, em que x é o saquinho excluído. Há cinco saquinhos, mas só quatro resultados distintos, logo dois saquinhos têm a mesma quantidade de balas.

As somas possíveis são 23, 24, 26, 29, e uma delas aparece duas vezes. Somando as cinco somas (uma por saquinho excluído), cada saquinho entra em quatro delas:

em que r é o valor repetido. A soma dos quatro valores é 102, então 4S = 102 + r, e 102 + r deve ser múltiplo de 4.

1. r=23: 125, não é múltiplo de 4.
2. r=24: 126, não.
3. r=26: 128, sim, S=32.
4. r=29: 131, não.

Logo S=32 e os saquinhos têm 32-23=9, 32-24=8, 32-26=6, 32-26=6 e 32-29=3 balas.

Conferindo: 9+8+6+6+3=32. O maior saquinho tem 9 balas.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A8 é a segunda maior quantidade (32−24); o maior saquinho é o que sobra na soma 23.
• CNão corresponde a nenhuma diferença S−soma com S=32.
• DValor que não resulta de nenhum caso com soma total divisível corretamente.
• EValor sem relação com as somas; exigiria S=35, que não é consistente.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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