Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2016

Question

Uma praça circular é rodeada de casas. Ana e Pedro saíram de casas diferentes e deram uma volta ao redor da praça, no mesmo sentido, contando as casas pelas quais iam passando.

Ilustração de uma praça circular rodeada por casas, com um lago, árvores e um banco no centro.

A quinta casa contada por Ana foi a décima segunda de Pedro e a vigésima de Ana foi a quinta de Pedro. Quantas casas existem em volta da praça?

A
22
B
25
C
28
D
31
E
34

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Uma praça circular é rodeada de casas. Ana e Pedro saíram de casas diferentes e deram uma volta ao redor da praça, no mesmo sentido, contando as casas pelas quais iam passando.

Ilustração de uma praça circular rodeada por casas, com um lago, árvores e um banco no centro.

A quinta casa contada por Ana foi a décima segunda de Pedro e a vigésima de Ana foi a quinta de Pedro. Quantas casas existem em volta da praça?

A
22
B
25
C
28
D
31
E
34

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como a 5^a casa contada por Ana foi a 12^a contada por Pedro, concluímos que Pedro está contando 7 = 12 - 5 casas à frente de Ana. Portanto, em geral, para determinarmos o número atribuído a uma casa por Pedro, basta acrescentar 7 ao número atribuído por Ana a essa mesma casa. Nos casos em que essa soma ultrapassar o número total de casas, devemos ter atenção. Isso pode ocorrer, uma vez que as casas estão dispostas em forma circular, contornando a praça. Identificamos esses casos quando o número de Pedro for menor que o número de Ana para a mesma casa.

Seguindo esse raciocínio, a 20^a casa contada por Ana deve ser a 27^a contada por Pedro, mas o enunciado nos diz que ela corresponde à 5^a casa contada por Pedro. Consequentemente, 27 é maior que o número total de casas. Logo, se Pedro, ao terminar a volta na praça após contar a última casa, continuar contando, então ele atribuirá o número 27 à mesma casa a que ele atribuíra o número 5, na primeira volta completa. Ou seja, Pedro contou 5 casas após a última e obteve 27. Portanto, o número total de casas é 27 - 5 = 22.

Para ilustrar a solução, podemos representar a praça desenhando uma circunferência; colocamos por fora os números contados por Ana e por dentro os números contados por Pedro. O enunciado fornece os seguintes dados:

[Figura: Circunferência representando a praça. No interior, uma seta curva no sentido anti-horário com a indicação "Pedro" aponta para os números 5 (na parte inferior) e 12 (na lateral direita). No exterior, uma seta curva no mesmo sentido com a indicação "Ana" aponta para os números 20 e 5, alinhados respectivamente às posições 5 e 12 de Pedro.]

Colocamos, a seguir, os valores intermediários e vemos que a casa 23 da contagem de Pedro coincide com a casa 1 da contagem de Ana. Logo, há 22 casas em volta da praça.

[Figura: Circunferência com marcações ao longo do arco inferior direito. Do lado de dentro aparecem os números de 5 a 12 (contagem de Pedro), e do lado de fora os números correspondentes: 20, 21, 22, 1 ou 23, 2, 3, 4, 5 (contagem de Ana).]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame de N o número de casas. Cada pessoa começa a contar na casa onde está, e as duas contam no mesmo sentido, então a diferença entre as contagens de uma mesma casa é constante (módulo N).

Primeira casa: é a 5ª de Ana e a 12ª de Pedro. Pedro conta 12-5=7 a mais que Ana.

Segunda casa: é a 20ª de Ana e a 5ª de Pedro. Aqui Pedro conta menos que Ana, pois já completou a volta e recomeçou.

Entre as duas casas, Ana avança 20-5=15 casas.
Nesse mesmo trecho, Pedro vai da 12ª à 5ª contagem, ou seja, avança N-12+5 = N-7 casas (ele passa pela última casa e recomeça).
Como o trecho é o mesmo, 15 = N-7.
Logo, N=22.

Conferindo: com 22 casas, a 20ª de Ana é a 20ª da contagem dela. Para Pedro, a diferença é +7, então seria a 27ª, que equivale a 27-22=5ª. Confere com o enunciado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma relação do problema; com 25 casas a 20ª de Ana seria a 2ª de Pedro, não a 5ª.
CCom 28 casas, a 20ª de Ana seria a 27ª de Pedro, não a 5ª.
DCom 31 casas, a 20ª de Ana seria a 27ª de Pedro, não a 5ª.
ECom 34 casas, a 20ª de Ana seria a 27ª de Pedro, não a 5ª.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 17 no caderno Nível 1 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗