Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Observe o padrão da figura: o número n^2 fica no canto de um quadrado n\times n e o caminho "dobra" nele.

Veja: 1 está na linha 1; 4 na linha 2 (coluna 1); 9 na linha 1 (coluna 3); 16 na linha 4 (coluna 1); 25 na linha 1 (coluna 5).

Para n ímpar, n^2 fica na linha 1 (no topo, no fim da subida). Para n par, n^2 fica na linha n, na coluna 1, no fim do trecho para a esquerda.

Vamos achar entre quais quadrados está o 2016:

1. 44^2 = 1936 e 45^2 = 2025, então 1936 < 2016 < 2025.
2. Como 44 é par, o 1936 está na linha 44, coluna 1.
3. Depois do 1936, o caminho desce pela coluna 1 até a linha 45 (número 1937, na linha 45) e então segue para a direita pela linha 45.
4. Na linha 45 estão os números de 1937 até 1937+44=1981? Vamos conferir com o padrão: o 17 (após 16) está na linha 5 e segue até 21, que é 17+4. Logo, aqui vai de 1937 até 1981, na coluna 45.
5. Depois sobe pela coluna 45 até a linha 1, que é 2025=45^2. De 1981 a 2025 são 44 passos, subindo da linha 45 até a linha 1.

O número 2025 está na linha 1 e cada passo antes dele desce uma linha: 2025-k está na linha 1+k. Para 2016: k=9, então linha 10.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa 2025-2016=9 como a linha, esquecendo de somar 1 (a linha 1 corresponde a k=0).
• CAssocia ao 16 (4^2), sem relação com a posição de 2016.
• DUsa 44, a raiz de 1936, como se 2016 estivesse na linha 44.
• EUsa 45, a raiz de 2025, e ignora que o 2016 já está subindo a coluna.

Assunto: Sequências e padrões.

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