Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2016

Resolução comentada

A equação vale para todo x real, então podemos escolher valores convenientes de x e montar um sistema com f(0) e f(1).

1. Com x=0: f(1-0) + 2f(0) = 3\cdot 0, ou seja, f(1) + 2f(0) = 0.
2. Com x=1: f(1-1) + 2f(1) = 3\cdot 1, ou seja, f(0) + 2f(1) = 3.

Agora temos duas equações com as incógnitas a=f(0) e b=f(1):

3. Da primeira: b = -2a.
4. Substituindo na segunda: a + 2(-2a) = 3 \Rightarrow a - 4a = 3 \Rightarrow -3a = 3 \Rightarrow a = -1.

Logo f(0) = -1 e f(1) = 2.

Conferindo: x=0 dá f(1)+2f(0) = 2 - 2 = 0 ✓; x=1 dá f(0)+2f(1) = -1 + 4 = 3 ✓.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana: 2 é o valor de f(1), encontrado no mesmo sistema, e não o de f(0) pedido.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com o sistema; aparece ao errar o sinal ou a substituição, pois -2 não satisfaz f(0)+2f(1)=3 com f(1)=-2f(0).
• CSupõe f(0)=0 por causa de 3\cdot 0=0, esquecendo que f(1) também aparece na equação.
• DDaria f(1)=-2 e f(0)+2f(1)=1-4=-3\neq 3; não satisfaz o sistema.
• EÉ o valor de f(1), não de f(0).

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Equações do 1º grau e problemas.

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