Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2016

Question

Dois triângulos retângulos, ambos com catetos de medidas a e b, com a > b, são sobrepostos como na figura. Qual é a área do quadrilátero sombreado?

Dois triângulos retângulos de catetos a e b sobrepostos, compartilhando o vértice do ângulo reto no canto inferior esquerdo, cuja interseção forma um quadrilátero sombreado em cinza.

A
\dfrac{a (a^2 + b^2)}{a + b}
B
\dfrac{b (a^2 + b^2)}{a + b}
C
\dfrac{b^2 (a - b)}{a + b}
D
\dfrac{a^2 b^2}{(a + b)^2}
E
\dfrac{a\,b^2}{a + b}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Dois triângulos retângulos, ambos com catetos de medidas a e b, com a > b, são sobrepostos como na figura. Qual é a área do quadrilátero sombreado?

Dois triângulos retângulos de catetos a e b sobrepostos, compartilhando o vértice do ângulo reto no canto inferior esquerdo, cuja interseção forma um quadrilátero sombreado em cinza.

A
\dfrac{a (a^2 + b^2)}{a + b}
B
\dfrac{b (a^2 + b^2)}{a + b}
C
\dfrac{b^2 (a - b)}{a + b}
D
\dfrac{a^2 b^2}{(a + b)^2}
E
\dfrac{a\,b^2}{a + b}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na figura, os segmentos auxiliares FG e FB são perpendiculares aos catetos AH e AC, respectivamente. Usaremos a notação AB tanto para indicar o segmento, como para sua medida.

[Figura: Diagrama com os catetos perpendiculares AD na horizontal e AI na vertical, contendo os pontos B e C sobre AD e os pontos G e H sobre AI. Os segmentos HC e ID se intersectam no ponto F. As linhas tracejadas FG, FB e AF delimitam o quadrado ABFG de lado x. A região do quadrilátero ACFH está sombreada.]

Usando a simetria da figura, se FG = FB = x, então, ABFG é um quadrado de lado x, logo, FG = FB = AB = AG = x. Além disso, dos dados do problema temos que AC = AH = b e AI = AD = a.

Por outro lado, os triângulos BDF e ADH são semelhantes; logo, vale a seguinte relação:

\frac{a-x}{a} = \frac{x}{b}.

Concluímos que x = \frac{ab}{a+b}. Finalmente, a área do quadrilátero ACFH (ele pode ser decomposto nos triângulos AFH e AFC) é dada por

\text{área}(ACFH) = 2\frac{bx}{2} = bx = \frac{ab^2}{a+b}.

[Figura: Diagrama semelhante mostrando os catetos perpendiculares com vértices A, D e I, pontos C e H sobre os catetos, e a interseção F dos segmentos HC e ID. O segmento tracejado CH tem rótulo \sqrt{2}b e o segmento tracejado DI tem rótulo \sqrt{2}a. A região ACFH está sombreada.]

Outra solução: Construímos os segmentos auxiliares CH e DI. Os triângulos DFI e CFH são semelhantes com razão de semelhança \frac{DI}{CH} = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}b} = \frac{a}{b}. Denotando por X e por Y as áreas dos triângulos CFH e DFI, respectivamente, temos que Y = \frac{a^2}{b^2}X.

Por outro lado, temos que \text{área}(CDF) = \frac{(a-b)a}{2} - Y = \frac{(a-b)b}{2} - X, ou seja, Y - X = \frac{(a-b)a}{2} - \frac{(a-b)b}{2} = \frac{(a-b)^2}{2}. Usando que Y = \frac{a^2}{b^2}X temos a igualdade

\left(\frac{a^2}{b^2} - 1\right)X = \frac{(a-b)^2}{2}\text{, de onde obtemos que } X = \frac{(a-b)^2}{2}\frac{b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)b^2}{2(a+b)}\text{. Finalmente,}

\text{área}(ACFH) = \frac{b^2}{2} + \frac{(a-b)b^2}{2(a+b)} = \frac{2ab^2}{2(a+b)} = \frac{ab^2}{a+b}.

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Resolução comentada

Coloque o ângulo reto na origem. Um triângulo tem o cateto a na vertical e o cateto b na horizontal. O outro tem o cateto a na horizontal e o cateto b na vertical, como na figura.

O quadrilátero sombreado tem vértices em (0,0), (b,0), (0,b) e no ponto P, onde as hipotenusas se cruzam.

Hipotenusa do primeiro triângulo, que liga (0,a) a (b,0): \dfrac{x}{b}+\dfrac{y}{a}=1.
Hipotenusa do segundo triângulo, que liga (0,b) a (a,0): \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1.
As duas equações trocam x por y entre si, então o ponto de encontro tem x=y=t. Assim, t\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)=1, ou seja, t=\dfrac{ab}{a+b}.

Agora divida o quadrilátero pela diagonal que vai da origem até P. Os dois triângulos têm base b (um sobre o eixo horizontal, outro sobre o eixo vertical) e altura t, que é a distância de P a cada eixo:

\text{Área}=2\cdot\frac{1}{2}\,b\,t=b\cdot\frac{ab}{a+b}=\frac{a\,b^2}{a+b}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AExpressão sem fundamento geométrico; a área não pode superar a do triângulo ab/2 e esta tem dimensão errada de crescimento em a.
BTroca os papéis de a e b e usa a^2+b^2, que não aparece no cálculo.
CAparece o fator (a-b), que resultaria de subtrair áreas de forma errada; a área correta não se anula quando a=b.
DÉ o quadrado da coordenada t do ponto de interseção, não a área do quadrilátero.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗