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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

Os quadrados da figura têm lados paralelos e o mesmo centro. O quadrado maior tem lado 10 e o menor tem lado x. Qual é o gráfico que expressa a área da região cinza em função de x?

Dois quadrados com mesmo centro e lados paralelos. O quadrado maior tem lado de comprimento indicado como 10 e o quadrado menor tem lado de comprimento indicado como x. A região cinza é formada na parte superior entre os dois quadrados, delimitada pelo lado superior do quadrado maior, pelo segmento que une o vértice superior esquerdo do quadrado maior ao vértice superior esquerdo do menor, pelos lados superior e direito do quadrado menor, e pelo segmento que une o vértice inferior direito do quadrado menor ao vértice superior direito do quadrado maior.

Gráficos das alternativas de A a E mostrando a variação da área em função de x: A mostra uma reta decrescente que cruza o eixo x; B mostra uma curva parabólica côncava para baixo com vértice com x positivo; C mostra uma curva côncava para cima e crescente; D mostra uma curva côncava para baixo e decrescente, partindo do eixo vertical; E mostra uma curva côncava para cima e decrescente que tangencia o eixo x.

As alternativas estão no enunciado, acima.

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D
  5. E
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Chame de A a área cinza. A região cinza é um trapézio de bases 10 (lado superior do quadrado maior) e x (lado superior do quadrado menor), com a parte do quadrado menor retirada.

Pela figura, a região cinza é limitada por dois segmentos que ligam vértices do quadrado maior a vértices do menor. Ela é um trapézio com o quadrado menor em sua base inferior, então a área cinza é a do trapézio menos a do quadrado menor.

  1. Como os quadrados têm o mesmo centro, o quadrado menor fica a \frac{10-x}{2} de cada lado do maior.
  2. A altura do trapézio, do lado superior do quadrado maior até a base inferior do menor, é \frac{10-x}{2}+x=\frac{10+x}{2}.
  3. As bases do trapézio são 10 (em cima) e x (embaixo).
  4. Área do trapézio: \dfrac{(10+x)}{2}\cdot\dfrac{10+x}{2}=\dfrac{(10+x)^2}{4}.
  5. A região cinza fica ao redor do quadrado menor, que ocupa sua parte inferior. Logo A=\dfrac{(10+x)^2}{4}-x^2.

Desenvolvendo:

A=\frac{100+20x+x^2-4x^2}{4}=25+5x-\frac{3x^2}{4}

É uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de x^2 é negativo. Em x=0, A=25, positivo. O vértice está em x=-\dfrac{5}{2\cdot(-3/4)}=\dfrac{10}{3}>0, então a função cresce no início e depois decresce. Em x=10, A=25+50-75=0, e a curva toca o eixo x ali.

Isso corresponde ao gráfico com a curva côncava para baixo, começando acima do zero, com máximo em x positivo e chegando a zero em x=10.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: parece natural que a área diminua sempre quando o quadrado menor cresce, mas o trapézio também aumenta, e a área cinza cresce até x=10/3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AReta decrescente: a área é quadrática, não afim.
  • CCurva crescente e côncava para cima: a área vai a zero em x=10.
  • DDecrescente desde x=0: ignora que o vértice está em x=10/3>0, onde há máximo.
  • ECôncava para cima: o coeficiente de x² é negativo (−3/4).

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: OBMEP 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗