Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

A figura abaixo é formada por dois quadrados de lado 6 cm e dois triângulos. Se M é o ponto médio de AB, qual é a área total da figura?

Figura composta por dois quadrados rosas congruentes dispostos diagonalmente, unidos parcialmente por um segmento vertical AB com ponto médio M, e dois triângulos verdes, um no topo à direita e outro na base à esquerda.

A
90\ \text{cm}^2
B
96\ \text{cm}^2
C
100\ \text{cm}^2
D
108\ \text{cm}^2
E
120\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura abaixo é formada por dois quadrados de lado 6 cm e dois triângulos. Se M é o ponto médio de AB, qual é a área total da figura?

Figura composta por dois quadrados rosas congruentes dispostos diagonalmente, unidos parcialmente por um segmento vertical AB com ponto médio M, e dois triângulos verdes, um no topo à direita e outro na base à esquerda.

A
90\ \text{cm}^2
B
96\ \text{cm}^2
C
100\ \text{cm}^2
D
108\ \text{cm}^2
E
120\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como os quadrados estão dispostos de forma que os pontos A, M e B estão alinhados, e como M é o ponto médio de AB, segue que os dois triângulos da figura são triângulos retângulos, com catetos medindo 6 e 3 centímetros. Assim, a área de cada quadrado é 6 \times 6 = 36\text{ cm}^2 e a área de cada triângulo é \frac{6 \times 3}{2} = 9\text{ cm}^2. A área total da figura é 36 + 36 + 9 + 9 = 90\text{ cm}^2.

[Figura: Dois quadrados cor-de-rosa em degrau com pontos colineares A, M e B sobre um segmento vertical, e dois triângulos retângulos verdes completando a figura.]

Pode-se também deslocar um dos triângulos para se obter um outro método de resolução.

[Figura: Esquema em que o triângulo verde superior é deslocado para baixo do quadrado rosa da esquerda, unindo-se ao outro triângulo verde para formar um retângulo.]

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Resolução comentada

Pela figura, o quadrado de cima tem o lado direito vertical AB de 6 cm, com A no topo e B no vértice inferior direito. O segundo quadrado fica à direita e mais abaixo: seu lado superior começa em M, o ponto médio de AB, e vai para a direita. Então AM = MB = 3 cm.

Os dois quadrados se sobrepõem? Não. O segundo quadrado começa na altura de M e, à direita da reta AB, ocupa a região abaixo de M. O primeiro quadrado fica à esquerda de AB. Por isso eles apenas se tocam ao longo do segmento MB.

Área dos quadrados: 2\cdot 6^2 = 72\ \text{cm}^2.
Triângulo verde de cima: vértices A, M e o canto superior direito do segundo quadrado. O lado AM mede 3 cm, e a base horizontal, que é o lado superior do segundo quadrado, mede 6 cm. Ele é retângulo em M, com catetos 3 e 6:

\frac{3\cdot 6}{2}=9\ \text{cm}^2
Triângulo verde de baixo: por simetria da figura (rotação de 180^\circ em torno do ponto médio de MB), ele é congruente ao de cima e tem área 9\ \text{cm}^2.
Área total:

72+9+9=90\ \text{cm}^2

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BSoma valores errados para os triângulos, como se tivessem 12 cm² cada.
CSuperestima a área dos triângulos, que têm 9 cm² cada, não 14.
DUsa catetos 6 e 6 para os triângulos (18 cm² cada), esquecendo que um cateto é metade de AB.
EConsidera triângulos de 24 cm² cada, sem usar que M é ponto médio.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗