Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2015

Resolução comentada

A grade tem 2 linhas e 3 colunas de pontos, com 1\ \text{cm} entre pontos vizinhos (horizontal ou vertical). Para visitar os 6 pontos, a formiga faz 5 passos, e andar 5\ \text{cm} significa que cada passo mede 1\ \text{cm}. Portanto, ela só pode ir de um ponto a um vizinho imediato, sem diagonais, e sem repetir pontos. Precisamos contar os caminhos que passam por todos os 6 pontos exatamente uma vez.

Os vizinhos são: A–B, B–C, D–E, E–F, A–D, B–E, C–F.

Contamos por ponto de partida.

1. Partida em A (ou, por simetria, C, D, F, os cantos):

• A→B→C→F→E→D (percorre o contorno);
• A→D→E→B→C→F;
• A→D→E→F→C→B;
• A→B→E→D: fica preso (faltam C e F), não serve.
  Logo, cada canto tem 3 caminhos. Conferindo A→B→E→F→C: fica preso sem D, não serve. Então são 3 por canto, ou seja, 4\times 3 = 12.

2. Partida em B (ou E, os pontos do meio):

• B→A→D→E→F→C é válido;
• B→C→F→E→D→A é válido;
• B→E: depois, A ou C ficariam isolados, não serve.
  Logo, 2 caminhos por ponto do meio, ou seja, 2\times 2 = 4.

Total: 12 + 4 = 16.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconta só um caminho por ponto de partida, esquecendo os que mudam de direção no meio.
• Bconta poucos caminhos a partir dos cantos, deixando de lado os que passam pelo ponto do meio.
• Cconsidera só as partidas nos cantos (4×3) e esquece as partidas em B e E.
• Econta caminhos a mais, incluindo trajetos que ficam presos e não visitam todos os pontos.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Princípio fundamental da contagem.

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