Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

Na subtração abaixo cada letra representa um algarismo diferente. Qual é o algarismo que C representa?

\begin{array}{rcc} & \text{A} & \text{B} & \text{A} \\ - & & \text{C} & \text{A} \\ \hline & & \text{A} & \text{B} \end{array}

A
2
B
4
C
5
D
7
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Na subtração abaixo cada letra representa um algarismo diferente. Qual é o algarismo que C representa?

\begin{array}{rcc} & \text{A} & \text{B} & \text{A} \\ - & & \text{C} & \text{A} \\ \hline & & \text{A} & \text{B} \end{array}

A
2
B
4
C
5
D
7
E
9

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: conta armada de subtração: ABA menos CA igual a AB]

Observando a conta, vemos que a letra B só pode representar o algarismo 0, pois é igual a A-A. Por outro lado, como o algarismo das centenas do resultado não aparece (é zero), concluímos que A representa o algarismo 1, pois quando tiramos de um número menor do que 100 de um número maior do que 200, a diferença é maior do que 100, que não é o caso. Substituindo os valores já encontrados, obtemos:

[Figura: conta armada de subtração: 101 menos C1 igual a 10]

Disto concluímos que C representa o algarismo 9.

Outra solução: A conta apresentada pode ser convertida em uma adição, como na figura. O algarismo que corresponde à letra B deve ser 0, pois B + A = A. Analisando a casa das dezenas, vemos que A + C = 10, o que nos leva a concluir que o dígito das centenas do resultado é 1, ou seja, que A = 1. Logo, 1 + C = 10 e, portanto, C = 9.

[Figura: conta armada de adição: AB mais CA igual a ABA]

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Resolução comentada

Montando a conta com as colunas alinhadas à direita, ela fica \overline{ABA} - \overline{CA} = \overline{AB}.

Escrevendo cada número pelo valor posicional:

\overline{ABA} = 100A + 10B + A
\overline{CA} = 10C + A
\overline{AB} = 10A + B

A equação é:

100A + 10B + A - (10C + A) = 10A + B

O A do final de cada número se cancela:

100A + 10B - 10C = 10A + B \Rightarrow 90A + 9B = 10C

O lado direito é múltiplo de 10, então 90A + 9B também é. Como 90A já é múltiplo de 10, 9B precisa ser múltiplo de 10. Sendo B um algarismo, isso só acontece com B = 0.

Com B=0: 90A = 10C, ou seja, C = 9A.

Como A é o primeiro algarismo de um número, A \neq 0. Como C é um algarismo, C \le 9. Logo A = 1 e C = 9.

Conferindo: 101 - 91 = 10, que é \overline{AB} com A=1 e B=0. Os algarismos 1, 0 e 9 são diferentes, como o enunciado pede.

Portanto C = 9.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO valor 2 não satisfaz C = 9A com B = 0; não fecha a subtração.
BO valor 4 não satisfaz C = 9A com A algarismo não nulo.
CO valor 5 não é múltiplo de 9, então não pode ser 9A.
DO valor 7 não é múltiplo de 9, então não pode ser 9A.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Sistemas de numeração.

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Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗