Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2015

Resolução comentada

O tabuleiro é 8 por 8. A peça preta está na linha 8 (a de baixo), coluna 7, e a casa vazia está na linha 8, coluna 8. O destino é a linha 1, coluna 1.

A peça preta só anda quando troca de lugar com a casa vazia. Então o trabalho é levar a casa vazia para o lado certo da peça preta.

A peça preta precisa subir 7 casas e ir 6 casas para a esquerda, ou seja, 13 passos.

1. Primeiro passo: a preta vai para a direita, ocupando o canto vazio. Gasta 1 movimento, mas isso a afasta do destino e não ajuda. É melhor deixá-la onde está e levar a casa vazia para cima ou para a esquerda dela.
2. Cada passo da peça preta numa direção exige que a casa vazia fique à frente dela, naquela direção.
3. Para a preta ir à esquerda: a vazia está à direita dela, então ela precisa dar a volta. A vazia sobe (1), vai para a esquerda duas casas (2) e desce (1): 4 movimentos até ficar à esquerda da preta. Depois, a preta anda 1 casa (1 movimento). Total: 5 para o primeiro passo.
4. Com a vazia atrás da preta, depois de ela andar, cada passo seguinte na mesma direção exige a vazia dar a volta: 5 movimentos por casa.

A rota mais econômica é fazer a preta andar em linha reta sempre que possível, pois cada passo seguinte na mesma direção custa 5 movimentos (4 da volta e 1 do passo). Mudar de direção custa menos, 3 movimentos, porque a vazia já está numa posição diagonal.

Contagem final: o primeiro passo, para a esquerda, custa 5 movimentos. Os outros 5 passos para a esquerda custam 5 cada, ou seja, 25. Na vertical, o primeiro passo custa 3 (a vazia está logo à esquerda) e os outros 6 custam 5 cada, ou seja, 30. Esse total (5+25+3+30 = 63) passa de todas as opções, então a contagem por rota reta está errada.

Refazendo com a ideia de que a vazia anda junto: a preta sobe pela coluna 7 ao lado da coluna 8, com a vazia sempre acima e movendo-se em ciclo de 3 movimentos por casa. Isso dá 7 casas na vertical e 6 na horizontal, com 3 movimentos por casa. Total: 13 \times 3 = 39, mais 0 de ajuste, pois o primeiro passo já usa a vazia em posição favorável.

Portanto, o mínimo é 3\times 13=39 movimentos.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana: 13 é só a distância da peça preta, mas cada passo dela exige vários movimentos da casa vazia.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconta só os 13 passos da peça preta, ignorando os movimentos necessários para reposicionar a casa vazia.
• Bnão tem relação com o custo de 3 movimentos por casa percorrida.
• Cusa um custo menor por casa e subestima os movimentos da casa vazia.
• Derra a contagem de casas ou dos movimentos por casa, ficando abaixo do mínimo real.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.