Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Primeiro, conte o máximo de intersecções entre os objetos, dois a dois:

• duas circunferências: no máximo 2 pontos;
• uma reta e uma circunferência: no máximo 2 pontos;
• duas retas: no máximo 1 ponto.

A figura tem 2 circunferências e 2 retas, com 11 pontos. Confira: 2 + 4\cdot 2 + 1 = 11. Ela já está no máximo.

Agora há 2 circunferências e 5 retas. Conte por tipo de par:

1. circunferência com circunferência: 1\cdot 2 = 2 pontos;
2. reta com circunferência: 5\cdot 2\cdot 2 = 20 pontos;
3. reta com reta: \binom{5}{2}=10 pontos, com 1 ponto cada.

Total:

O máximo é atingido quando nenhuma reta é paralela a outra, todas cortam as circunferências em 2 pontos e não há três objetos passando pelo mesmo ponto.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma só alguns tipos de pares, esquecendo parte das intersecções reta-circunferência.
• BErra a contagem dos pares de retas ou das intersecções reta-circunferência.
• DConta pontos a mais, como se cada par de retas desse mais de 1 ponto ou houvesse mais intersecções.
• ESuperestima bastante, contando intersecções que não existem entre os objetos.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Princípio fundamental da contagem.

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