Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2015

Question

Carlinhos completou 5 voltas e meia correndo ao longo de uma pista circular. Em seguida, inverteu o sentido e correu mais quatro voltas e um terço, faltando percorrer 40 metros para chegar ao ponto de início. Quantos metros tem essa pista de corrida?

Ilustração de um menino com faixa na cabeça e camisa com número 01 correndo em uma pista de corrida

A
48
B
120
C
200
D
240
E
300

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Carlinhos completou 5 voltas e meia correndo ao longo de uma pista circular. Em seguida, inverteu o sentido e correu mais quatro voltas e um terço, faltando percorrer 40 metros para chegar ao ponto de início. Quantos metros tem essa pista de corrida?

Ilustração de um menino com faixa na cabeça e camisa com número 01 correndo em uma pista de corrida

A
48
B
120
C
200
D
240
E
300

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Solução oficial da OBMEP

Vamos supor que, no início, Carlinhos estava no ponto I. Vamos pensar que ele anda inicialmente no sentido horário (o sentido do movimento não é relevante para solucionar o problema, nem mesmo o formato circular da pista). Depois de 5 voltas e meia ele estará no ponto J.

[Figura: Circunferência com os pontos I à esquerda e J à direita, diametralmente opostos, com uma seta apontando para J.]

Invertendo seu percurso e andando 4 voltas e 1/3, ele estará no ponto P. Como o percurso completo é igual a 6 vezes o comprimento do arco que vai de I até P, então o comprimento da pista é 6 \times 40 = 240 metros. De fato, um terço do comprimento da pista mais 40 metros é igual à metade da pista, ou seja, o comprimento C da pista, em metros, é tal que \frac{1}{3}C + 40 = \frac{1}{2}C, ou equivalentemente, 40 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)C = \frac{1}{6}C. Logo, C = 40 \times 6 = 240 metros.

[Figura: Circunferência mostrando os pontos I, P e J, com arcos indicando a distância de 40 metros entre I e P, e a distância de 1/3 do percurso completo entre P e J.]

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Resolução comentada

Como ele inverteu o sentido, a segunda corrida desfaz parte da primeira. A posição final, medida em voltas a partir do início, é a diferença entre as duas distâncias.

Primeira parte: 5{,}5 = \frac{11}{2} voltas.
Segunda parte (sentido contrário): 4\frac{1}{3} = \frac{13}{3} voltas.
Distância que ainda falta para o ponto de início:

\frac{11}{2}-\frac{13}{3}=\frac{33}{6}-\frac{26}{6}=\frac{7}{6}\ \text{volta}

Isso é 1 volta completa e mais \frac{1}{6} de volta. Como a pista é circular, completar voltas inteiras leva ao mesmo ponto. Então os 40 m que faltam correspondem a \frac{1}{6} de volta.

Comprimento da pista:

\frac{1}{6}\cdot C = 40 \Rightarrow C = 240\ \text{m}

Conferindo: \frac{1}{6} de 240 é 40. Está certo.

Alternativa D.

Pegadinha: Somar as voltas (5,5 + 4,33) em vez de subtrair, esquecendo que ele inverteu o sentido; além disso, esquecer que 1 volta inteira extra não muda o ponto.

Por que as outras alternativas estão erradas

AMultiplica 40 por 1,2, sem relação com as frações de volta; valor sem sentido no problema.
BUsa \frac{1}{3} de volta como o que falta, obtendo 40\cdot 3, mas a fração que falta é \frac{1}{6}.
CSupõe que 40 m seja \frac{1}{5} da pista, sem fundamento nas contas.
ESupõe que 40 m seja \frac{2}{15} de volta, valor que não vem da diferença das voltas.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗