Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Seja n o número de súditos. Cada súdito acena uma vez para cada um dos demais presentes, ou seja, para os outros n-1 súditos e também para o rei. Então cada súdito dá n acenos.

O rei não acena para ninguém, então só os súditos contam:

1. Total de acenos: n \cdot n = n^2.
2. Pelo enunciado, n^2 = 1296.
3. Como 36^2 = 1296 (pois 36\cdot 36 = 36\cdot 30 + 36\cdot 6 = 1080 + 216), temos n = 36.

Conferindo: 36 súditos, cada um acena para 35 súditos e para o rei, ou seja, 36 acenos. Total: 36 \cdot 36 = 1296. ✓

Alternativa C.

Pegadinha: Quem usa a fórmula de pares n(n-1)/2 ou esquece que os súditos também acenam para o rei erra a conta; aqui o aceno tem sentido (de quem acena para quem), então são n^2 acenos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A16 daria apenas 16^2 = 256 acenos, muito menos que 1296.
• B24 daria 24^2 = 576 acenos.
• D44 daria 44^2 = 1936 acenos, mais que 1296.
• E56 daria 56^2 = 3136 acenos; resultado muito acima do total.

Assuntos: Equação do 2º grau, Potenciação e radiciação.

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