Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2015

Resolução comentada

O algarismo das unidades de a_{n+1}=a_n+a_n^2 = a_n(a_n+1) depende só do algarismo das unidades de a_n. Então basta acompanhar esse último algarismo.

1. a_1=3: termina em 3.
2. a_2 = 3\cdot 4 = 12: termina em 2.
3. a_3 = a_2(a_2+1): 2\cdot 3 = 6, termina em 6.
4. a_4: 6\cdot 7 = 42, termina em 2.
5. a_5: 2\cdot 3 = 6, termina em 6.

A partir de a_2, o último algarismo alterna entre 2 e 6: a_n termina em 2 quando n é par e em 6 quando n é ímpar (para n\ge 2).

Como 2015 é ímpar, e 2015\ge 3, o último algarismo de a_{2015} é 6.

Conferência: a_3=12\cdot 13=156 termina em 6, e a_4=156\cdot157 termina em 6\cdot7=42, ou seja, 2. Está de acordo com o padrão.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ o algarismo dos termos de índice par (2, 4, ...), mas 2015 é ímpar.
• CO algarismo 7 nunca aparece: os finais possíveis são só 3, 2 e 6.
• DO algarismo 8 não aparece na sequência dos últimos algarismos.
• EO algarismo 9 não aparece na sequência dos últimos algarismos.

Assunto: Sequências e padrões.

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