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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Inequações e desigualdades

O professor Michel aplicou duas provas a seus alunos e divulgou as notas por meio do gráfico mostrado abaixo. Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, respectivamente; já o aluno B obteve notas 3 e 2. Para um aluno ser aprovado, a média aritmética de suas notas deve ser igual a 6 ou maior do que 6. Qual dos gráficos representa a região correspondente às notas de aprovação?

Gráfico em malha quadriculada de 0 a 10 nos dois eixos. O eixo horizontal é rotulado "Prova 1" e o eixo vertical é rotulado "Prova 2", ambos com marcações em 0, 5 e 10. Há dois pontos destacados: o ponto A, localizado nas coordenadas (9, 8), e o ponto B, localizado nas coordenadas (3, 2).

  1. A
    Gráfico em malha quadriculada de 0 a 10 nos dois eixos, com a região sombreada em cinza compreendendo todos os pontos com coordenada horizontal de 0 a 10 e coordenada vertical de 6 a 10.
  2. B
    Gráfico em malha quadriculada de 0 a 10 nos dois eixos, com a região sombreada em cinza compreendendo todos os pontos com coordenada horizontal de 6 a 10 e coordenada vertical de 0 a 10.
  3. C
    Gráfico em malha quadriculada de 0 a 10 nos dois eixos, com a região sombreada em cinza situada acima e à direita da reta que liga os pontos (0, 6) e (6, 0), dentro do quadrado de 0 a 10.
  4. D
    Gráfico em malha quadriculada de 0 a 10 nos dois eixos, com a região sombreada em cinza compreendendo todos os pontos com coordenada horizontal de 6 a 10 e coordenada vertical de 6 a 10.
  5. E
    Gráfico em malha quadriculada de 0 a 10 nos dois eixos, com a região sombreada em cinza situada acima e à direita da reta que liga os pontos (2, 10) e (10, 2), dentro do quadrado de 0 a 10.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Chame de x a nota da prova 1 e de y a nota da prova 2. A aprovação exige média maior ou igual a 6:

\frac{x+y}{2}\ge 6 \iff x+y\ge 12

A fronteira da região é a reta x+y=12. Para desenhá-la, basta achar dois pontos, lembrando que as notas vão só até 10:

  1. Se x=10, então y=2, o ponto (10,2).
  2. Se y=10, então x=2, o ponto (2,10).

A reta liga (2,10) a (10,2). Falta ver de que lado fica a região. Testando o ponto (9,8), do aluno A: 9+8=17\ge 12, ele passa, e está acima e à direita da reta. Testando (3,2), do aluno B: 3+2=5<12, ele reprova, e está abaixo da reta.

Portanto, a região de aprovação é a parte do quadrado acima e à direita da reta que liga (2,10) e (10,2), o que corresponde ao gráfico E.

Os outros gráficos não servem. A reta ligando (0,6) e (6,0) vem de x+y=6, que seria a soma das notas igual a 6, e não a média. Os retângulos exigiriam nota mínima 6 em uma prova ou nas duas, o que não é a regra da média.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem iguala a soma das notas a 6 em vez de 12 (esquece de multiplicar a média por 2); a D engana quem confunde média 6 com nota mínima 6 em cada prova.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExige apenas nota da prova 2 de pelo menos 6, ignorando a prova 1.
  • BExige apenas nota da prova 1 de pelo menos 6, ignorando a prova 2.
  • CUsa x+y\ge 6 (soma 6) em vez de média 6, isto é, x+y\ge 12.
  • DExige nota de pelo menos 6 nas duas provas, o que é mais restritivo que a média 6; por exemplo, (10, 2) tem média 6 e ficaria de fora.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Função afim.

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Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗