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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Média aritmética e ponderada

O professor Michel aplicou duas provas a seus dez alunos e divulgou as notas por meio do gráfico mostrado abaixo. Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, respectivamente; já o aluno B obteve notas 3 e 5. Para um aluno ser aprovado, a média aritmética de suas notas deve ser igual a 6 ou maior do que 6. Quantos alunos foram aprovados?

Gráfico cartesiano em malha quadriculada com eixos 'Prova 1' (horizontal) e 'Prova 2' (vertical), ambos numerados de 0 a 10. Estão marcados os pontos: A(9, 8), B(3, 5), C(8, 3), D(8, 10), E(7, 6), F(3, 9), G(8, 7), H(10, 5), I(10, 1) e J(6, 3).

  1. A
    6
  2. B
    7
  3. C
    8
  4. D
    9
  5. E
    10
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A média é maior ou igual a 6 quando a soma das duas notas é maior ou igual a 12, pois \frac{x+y}{2}\ge 6 \iff x+y\ge 12. Basta somar as coordenadas de cada ponto:

  1. A (9,8): 17 → aprovado.
  2. B (3,5): 8 → reprovado.
  3. C (8,3): 11 → reprovado.
  4. D (8,10): 18 → aprovado.
  5. E (7,6): 13 → aprovado.
  6. F (3,9): 12 → aprovado (média exatamente 6, que vale).
  7. G (8,7): 15 → aprovado.
  8. H (10,5): 15 → aprovado.
  9. I (10,1): 11 → reprovado.
  10. J (6,3): 9 → reprovado.

Aprovados: A, D, E, F, G e H, ou seja, 6 alunos.

Alternativa A.

Pegadinha: O aluno F tem média exatamente 6, e quem exclui a igualdade erra e marca 5; já C e I (média 5,5) enganam por terem uma nota muito alta.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BInclui indevidamente um aluno com soma 11 (como C ou I), cuja média é 5,5.
  • CConta mais dois alunos com soma menor que 12, que ficam abaixo da média 6.
  • DConsidera aprovados quase todos, ignorando que vários têm soma menor que 12.
  • ESupõe que todos foram aprovados, sem calcular as médias.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Leitura e interpretação de gráficos.

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Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Nível 2 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗