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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um retângulo ABCD de papel branco, com área de 20\text{ cm}^2, é dobrado como mostra a figura, formando o pentágono BCD'EF com área de 14\text{ cm}^2. Se pintarmos de azul os dois lados do papel dobrado e desfizermos a dobra, o retângulo ficará com uma região não pintada. Qual é a área dessa região?

Três etapas da dobra do retângulo: à esquerda, o retângulo ABCD; ao centro, a representação da dobra ao longo de CF, com D indo para D' e linhas tracejadas indicando as posições originais; à direita, o pentágono BCD'EF resultante pintado de azul.

  1. A
    10\text{ cm}^2
  2. B
    12\text{ cm}^2
  3. C
    14\text{ cm}^2
  4. D
    16\text{ cm}^2
  5. E
    18\text{ cm}^2
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Resolução comentada

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Quando o papel é dobrado, a parte que gira (o quadrilátero AFED vira D'EFA') fica sobre o resto. Observando a figura, a dobra é feita ao longo de EF, e o pentágono BCD'EF tem área menor que a do retângulo porque parte do papel dobrado fica sobreposta. Mas na figura o ponto D' está sobre o papel, e o vértice C permanece fixo; a dobra leva D a D' e A a A' sobre a região de BCEF.

Ideia central: ao pintar os dois lados do papel dobrado e desfazer a dobra, a região não pintada é a parte que ficou escondida pela dobra, ou seja, a que não aparece em nenhum dos lados visíveis.

Cálculo:

  1. A área do retângulo é 20\ \text{cm}^2 e a do pentágono visível é 14\ \text{cm}^2.
  2. A parte do papel que ficou escondida (sobreposta) tem área 20-14=6\ \text{cm}^2, pois o pentágono cobre o papel todo menos essa parte dobrada que fica por baixo.
  3. Cada ponto do pentágono pintado dos dois lados é pintado em sua face de cima e em sua face de baixo. Na parte sobreposta, a face de baixo do papel de cima e a de cima do papel de baixo ficam protegidas; porém tinta só alcança as faces expostas.
  4. Na região sobreposta, de área x, o papel está em duas camadas; o retângulo tem área total 20 = 14 + x no pentágono contado uma vez, logo x=6. Essa sobreposição é a região do papel dobrado que cobre o papel de baixo, e as faces internas do contato ficam sem tinta, de modo que a região do retângulo que corresponde a elas é 2x = 12\ \text{cm}^2 (a região sobreposta e sua imagem na dobra).

A região não pintada tem área de 12\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima a região, não contando a imagem da sobreposição na dobra.
  • CUsa a área do pentágono (14) como se fosse a região não pintada.
  • DValor sem relação com a diferença 20 − 14 e seu dobro.
  • ESupera o dobro da sobreposição; não corresponde à área escondida.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗