Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2014

Question

O polígono ABCDEF é um hexágono regular. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AF e BC, respectivamente. O hexágono ABNGHM é simétrico em relação à reta que passa por M e N. Qual é a razão entre as áreas dos hexágonos ABNGHM e ABCDEF?

Hexágono regular ABCDEF contendo os pontos médios M em AF e N em BC, e o hexágono simétrico ABNGHM em seu interior

A
\frac{3}{10}
B
\frac{4}{11}
C
\frac{3}{7}
D
\frac{7}{15}
E
\frac{5}{12}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O polígono ABCDEF é um hexágono regular. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AF e BC, respectivamente. O hexágono ABNGHM é simétrico em relação à reta que passa por M e N. Qual é a razão entre as áreas dos hexágonos ABNGHM e ABCDEF?

Hexágono regular ABCDEF contendo os pontos médios M em AF e N em BC, e o hexágono simétrico ABNGHM em seu interior

A
\frac{3}{10}
B
\frac{4}{11}
C
\frac{3}{7}
D
\frac{7}{15}
E
\frac{5}{12}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

As diagonais que ligam vértices opostos dividem o hexágono regular em seis triângulos equiláteros congruentes, com lado igual ao do hexágono. Por outro lado, os segmentos MH e GN determinam triângulos equiláteros FHM e CGN com lado igual à metade do lado do hexágono.

Logo, a área de cada um destes dois triângulos é igual a \frac{S}{4}, sendo S a área dos triângulos equiláteros maiores. Assim, a razão entre as áreas dos hexágonos ABNGHM e ABCDEF é

\frac{3S - 2\frac{S}{4}}{6S} = \frac{5}{12}

[Figura: Hexágono regular ABCDEF de centro O, com suas diagonais principais traçadas dividindo-o em seis triângulos equiláteros. Os pontos M e N estão sobre os lados FA e BC, respectivamente, e os pontos H e G estão sobre a diagonal horizontal FC. A região do hexágono ABNGHM está sombreada em cinza.]

Uma outra solução consiste em decompor o hexágono regular em 24 pequenos triângulos equiláteros congruentes e verificar que o hexágono cinza é formado por 10 de tais triângulos pequenos. Assim, a razão entre as áreas é \frac{10}{24} = \frac{5}{12}.

[Figura: O mesmo hexágono regular ABCDEF subdividido em 24 pequenos triângulos equiláteros congruentes através de uma malha triangular. A região do hexágono ABNGHM está sombreada em cinza, cobrindo 10 desses pequenos triângulos.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Considere o hexágono regular de lado 1. Sua área é \frac{3\sqrt3}{2}.

A reta MN divide o hexágono em duas partes iguais, e cada uma é um trapézio. O hexágono ABNGHM é formado pelo trapézio de baixo, ABNM, mais a sua reflexão em relação à reta MN, que fica dentro do hexágono maior. Como a reflexão preserva a área, ABNGHM tem área igual a 2\cdot[ABNM].

Para que ABNGHM seja simétrico em relação a MN e a figura faça sentido, a reflexão do trapézio de baixo cai dentro do hexágono. Então a área de ABNGHM é igual a [ABNM] mais o refletido, mas esse refletido se sobrepõe ao próprio trapézio apenas na reta MN. Assim, os dois não se sobrepõem.

Cálculo das coordenadas: A=(0,0), B=(1,0), C=(1{,}5;\ \frac{\sqrt3}{2}), F=(-0{,}5;\ \frac{\sqrt3}{2}).

N é o ponto médio de BC: N=(1{,}25;\ \frac{\sqrt3}{4}).
M é o ponto médio de AF: M=(-0{,}25;\ \frac{\sqrt3}{4}).
A reta MN é horizontal, na altura \frac{\sqrt3}{4}, e tem comprimento 1{,}5.
O trapézio ABNM tem bases 1 e 1{,}5 e altura \frac{\sqrt3}{4}.
Sua área é \frac{(1+1{,}5)}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{5\sqrt3}{16}.

A reflexão em MN leva A,B para H,G na altura \frac{\sqrt3}{2}, pois 2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}. Isso coincide com a figura, em que HG está na altura de F e C.

Área de ABNGHM: 2\cdot\frac{5\sqrt3}{16}=\frac{5\sqrt3}{8}.

Razão: \dfrac{5\sqrt3/8}{3\sqrt3/2}=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{12}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a razão 5/12; vem de usar medidas incorretas para o trapézio.
BNão corresponde às áreas calculadas; erro ao posicionar os pontos médios.
CSeria a razão se o trapézio tivesse altura maior; ignora que M e N estão na metade da altura.
DValor sem justificativa geométrica; erro nas bases do trapézio.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Transformações geométricas e localização.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 9 no caderno Nível 2 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗