Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2014

Question

Ana Maria apertou as teclas \boxed{1}\ \boxed{9}\ \boxed{\times}\ \boxed{1}\ \boxed{0}\ \boxed{6}\ \boxed{=} de sua calculadora e o resultado 2014 apareceu no visor. Em seguida, ela limpou o visor e fez aparecer novamente 2014 com uma multiplicação de dois números naturais, mas, desta vez, apertando seis teclas em vez de sete. Nesta segunda multiplicação, qual foi o maior algarismo cuja tecla ela apertou?

Ilustração de uma garota segurando uma calculadora cujo visor exibe o número 2014.

A
5
B
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C
7
D
8
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Ana Maria apertou as teclas \boxed{1}\ \boxed{9}\ \boxed{\times}\ \boxed{1}\ \boxed{0}\ \boxed{6}\ \boxed{=} de sua calculadora e o resultado 2014 apareceu no visor. Em seguida, ela limpou o visor e fez aparecer novamente 2014 com uma multiplicação de dois números naturais, mas, desta vez, apertando seis teclas em vez de sete. Nesta segunda multiplicação, qual foi o maior algarismo cuja tecla ela apertou?

Ilustração de uma garota segurando uma calculadora cujo visor exibe o número 2014.

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Observe que 2014 = 19 \times 106 = 2 \times 19 \times 53. Assim, a menos da ordem dos fatores, existem somente quatro formas possíveis de se fazer aparecer 2014 na calculadora como uma multiplicação de dois números naturais:

Apertando sete teclas: 1 \times 2014 =
Apertando sete teclas: 2 \times 1007 =
Apertando sete teclas: 19 \times 106 =
Apertando seis teclas: 38 \times 53 =

(Este fato se deve à decomposição única de um número inteiro positivo em fatores primos, a menos da ordem dos fatores. Os fatores primos de 2014 são 2, 19 e 53).

Dentre as quatro possibilidades, em só uma delas seis teclas são pressionadas; concluímos então que as seis teclas que Ana Maria apertou foram 3, 8, x, 5, 3 e =. Portanto, o maior algarismo cuja tecla ela apertou foi 8.

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Resolução comentada

Primeiro, fatoramos 2014: 2014 = 2\times 1007 = 2\times 19\times 53. Isso confirma que 19\times 106 = 2014, pois 106 = 2\times 53.

A primeira multiplicação usou sete teclas: 1, 9, ×, 1, 0, 6 e =. Na segunda, serão seis teclas. Como × e = ocupam duas delas, sobram quatro teclas de algarismos.

Os divisores de 2014 são 1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007 e 2014. Vejamos as fatorações em dois números:

1\times 2014: 1 + 4 = 5 algarismos, gera 7 teclas.
2\times 1007: 1 + 4 = 5 algarismos, 7 teclas.
19\times 106: 2 + 3 = 5 algarismos, 7 teclas (a primeira).
38\times 53: 2 + 2 = 4 algarismos, 6 teclas. Serve.

Conferindo: 38\times 53 = 38\times 50 + 38\times 3 = 1900 + 114 = 2014.

Os algarismos apertados foram 3, 8, 5 e 3. O maior é 8.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem lembra do 9 da primeira multiplicação (19 × 106) e não busca a nova fatoração com quatro algarismos.

Por que as outras alternativas estão erradas

A5 é só o maior algarismo de um dos fatores (53), mas ignora o 8 de 38.
B6 aparece na multiplicação original (19 × 106), não na de seis teclas.
C7 não aparece em nenhuma fatoração de 2014 com seis teclas.
E9 aparece em 19 × 106, que usa sete teclas, não seis.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 8 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

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