Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Coloque os quadrados lado a lado, com as bases alinhadas. O quadrado maior tem lado 8 e o menor tem lado 6, então a figura tem comprimento total 8+6=14\ \text{cm}.

A região cinza fica entre o contorno superior da figura e o segmento. Esse segmento vai do vértice superior esquerdo do quadrado maior até o vértice inferior direito do quadrado menor. A figura está cortada embaixo, e estou supondo que o segmento termina nesse vértice. Podemos então calcular a área cinza por subtração:

1. Área dos dois quadrados juntos: 8^2+6^2=64+36=100\ \text{cm}^2.
2. Abaixo do segmento forma-se um triângulo retângulo de base 14 e altura 8. Sua área é \dfrac{14\cdot 8}{2}=56\ \text{cm}^2.
3. Esse triângulo cabe dentro da figura. Na divisa dos quadrados (x=8), o segmento está a uma altura de 8-\dfrac{8\cdot 8}{14}\approx 3{,}4, que é menor que 6.
4. Área cinza: 100-56=44\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E (56) é a área do triângulo branco, não a da região cinza; é preciso subtrair de 100.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhum cálculo correto; a área cinza é 100-56=44.
• CValor sem justificativa; não resulta da subtração entre a área dos quadrados e a do triângulo.
• DÉ a metade de 100, como se o segmento dividisse a figura ao meio, mas o triângulo abaixo do segmento tem área 56.
• EÉ a área do triângulo (56), que fica abaixo do segmento, e não a da região cinza.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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