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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Isabel tem oito saquinhos com 3, 4, 7, 9, 11, 12, 13 e 16 balas, respectivamente. Ela distribuiu os saquinhos para três crianças, de tal modo que cada uma delas recebeu a mesma quantidade de balas. Uma das crianças recebeu o saquinho com 4 balas. Dentre os saquinhos que essa criança recebeu, qual continha mais balas?

  1. A
    O saquinho com 9 balas.
  2. B
    O saquinho com 11 balas.
  3. C
    O saquinho com 12 balas.
  4. D
    O saquinho com 13 balas.
  5. E
    O saquinho com 16 balas.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Primeiro, some todas as balas: 3+4+7+9+11+12+13+16=75. Como são três crianças com quantidades iguais, cada uma recebeu 75\div 3=25 balas.

A criança que ficou com o saquinho de 4 balas precisa de mais 25-4=21 balas, vindas dos outros saquinhos (3, 7, 9, 11, 12, 13, 16).

  1. Com dois saquinhos somando 21: só 9+12.
  2. Com três saquinhos somando 21: só 3+7+11. Sem o 3, o mínimo seria 7+9+11=27, que passa de 21.
  3. Com quatro ou mais saquinhos já passaria de 21.

Testamos cada caso, vendo se o restante se divide em dois grupos de 25:

  • Se ela ficou com 4, 9, 12, sobram 3, 7, 11, 13, 16. Nenhum subconjunto soma 25: com 16 faltariam 9, e com 13 e 11 daria 24, e assim por diante. Esse caso é impossível.
  • Se ela ficou com 4, 3, 7, 11, sobram 9, 12, 13, 16, que se dividem em 9+16=25 e 12+13=25. Esse caso funciona.

Logo, essa criança recebeu os saquinhos de 3, 4, 7 e 11 balas, e o maior deles é o de 11 balas.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO 9 aparece só na combinação 4+9+12, que deixa o restante sem divisão em grupos de 25.
  • CO 12 também só aparece em 4+9+12, combinação impossível.
  • DCom o 13, a soma 4+13 deixa 8 para completar 25, e 8 não se forma com os saquinhos restantes (3, 7, 9...).
  • ECom o 16, a soma 4+16 deixa 5 para completar 25, e 5 não se forma com os saquinhos restantes.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗