Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2014

Question

Ana Maria apertou as teclas \boxed{1}\ \boxed{9}\ \boxed{\times}\ \boxed{1}\ \boxed{0}\ \boxed{6}\ \boxed{=} de sua calculadora e o resultado 2014 apareceu no visor. Em seguida, ela limpou o visor e fez aparecer novamente 2014 com uma multiplicação de dois números naturais, mas, desta vez, apertando seis teclas em vez de sete. Nesta segunda multiplicação, qual foi o maior algarismo cuja tecla ela apertou?

Ilustração de uma garota segurando uma calculadora que exibe o número 2014 no visor

A
5
B
6
C
7
D
8
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Ana Maria apertou as teclas \boxed{1}\ \boxed{9}\ \boxed{\times}\ \boxed{1}\ \boxed{0}\ \boxed{6}\ \boxed{=} de sua calculadora e o resultado 2014 apareceu no visor. Em seguida, ela limpou o visor e fez aparecer novamente 2014 com uma multiplicação de dois números naturais, mas, desta vez, apertando seis teclas em vez de sete. Nesta segunda multiplicação, qual foi o maior algarismo cuja tecla ela apertou?

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Observe que 2014 = 19 \times 106 = 2 \times 19 \times 53. Assim, a menos da ordem dos fatores, existem somente quatro formas possíveis de se fazer aparecer 2014 na calculadora como uma multiplicação de dois números naturais:

Apertando sete teclas: 1 \times 2014 =
Apertando sete teclas: 2 \times 1007 =
Apertando sete teclas: 19 \times 106 =
Apertando seis teclas: 38 \times 53 =

(Este fato se deve à decomposição única de um número inteiro positivo em fatores primos, a menos da ordem dos fatores. Os fatores primos de 2014 são 2, 19 e 53).

Dentre as quatro possibilidades, em só uma delas seis teclas são pressionadas; concluímos então que as seis teclas que Ana Maria apertou foram 3, 8, x, 5, 3 e =. Portanto, o maior algarismo cuja tecla ela apertou foi 8.

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Resolução comentada

Primeiro, 19 × 106 = 2014. A primeira conta usou 7 teclas: 1, 9, ×, 1, 0, 6 e =.

Na segunda, ela usou 6 teclas. Duas delas são × e =, então sobram 4 algarismos para os dois fatores.

Vamos fatorar 2014:

2014 = 2 \times 1007
1007 = 19 \times 53, pois 19 \times 53 = 1007
Então 2014 = 2 \times 19 \times 53, e 2, 19 e 53 são primos.

Os divisores de 2014 são: 1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007, 2014.

As fatorações em dois números naturais são:

1 \times 2014: 1 + 4 = 5 algarismos (não serve)
2 \times 1007: 1 + 4 = 5 algarismos (não serve)
19 \times 106: 2 + 3 = 5 algarismos (é a primeira conta)
38 \times 53: 2 + 2 = 4 algarismos (serve)

Logo, a segunda multiplicação foi 38 \times 53, com os algarismos 3, 8, 5 e 3. O maior é 8.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem lembra do 6 de 19 × 106 (primeira conta) e não procura outra fatoração com apenas 4 algarismos.

Por que as outras alternativas estão erradas

A5 é só o maior algarismo de 53, ignorando o 8 de 38.
B6 aparece em 106, da primeira multiplicação, não na segunda.
C7 aparece em 1007, que usaria algarismos demais (2 × 1007 tem 5 algarismos).
E9 é de 19, fatoração que usa 5 algarismos, igual à primeira conta.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: OBMEP 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗