Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2014

Question

Todos os números de 1 a 24 devem ser escritos nas faces de um cubo, obedecendo-se às seguintes regras:

em cada face devem ser escritos quatro números consecutivos;
em cada par de faces opostas, a soma do maior número de uma com o menor número da outra deve ser igual a 25.

Se os números 7 e 23 estiverem escritos no cubo como na figura, qual é o menor número que pode ser escrito na face destacada em cinza?

Cubo em perspectiva mostrando três faces, cada uma dividida em quatro quadrados menores. A face superior está destacada em cinza. Na face frontal, o quadrado inferior direito contém o número 23. Na face lateral direita, o quadrado superior esquerdo contém o número 7.

A
1
B
5
C
9
D
11
E
17

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Todos os números de 1 a 24 devem ser escritos nas faces de um cubo, obedecendo-se às seguintes regras:

em cada face devem ser escritos quatro números consecutivos;
em cada par de faces opostas, a soma do maior número de uma com o menor número da outra deve ser igual a 25.

Se os números 7 e 23 estiverem escritos no cubo como na figura, qual é o menor número que pode ser escrito na face destacada em cinza?

Cubo em perspectiva mostrando três faces, cada uma dividida em quatro quadrados menores. A face superior está destacada em cinza. Na face frontal, o quadrado inferior direito contém o número 23. Na face lateral direita, o quadrado superior esquerdo contém o número 7.

A
1
B
5
C
9
D
11
E
17

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como em cada face aparecem quatro números consecutivos, então na face onde estiver o número 1, obrigatoriamente estarão os números 1, 2, 3 e 4. Logo, na face onde estiver o número 5 estarão os números 5, 6, 7 e 8, e assim, sucessivamente, até chegarmos à face com os números 21, 22, 23 e 24.

[Figura: Desenho de um cubo formado por 8 cubinhos menores (2 \times 2 \times 2), mostrando três de suas faces divididas em quatro quadradinhos cada. A face superior está destacada em cinza. A face lateral esquerda tem quatro quadradinhos em branco. Na face lateral direita, aparecem o número 7 no quadradinho superior esquerdo e o número 23 no quadradinho inferior esquerdo.]

Sendo assim, no cubo apresentado a face com o número 23 também apresenta os números 21, 22 e 24. Como o enunciado diz que a soma do maior número de uma face com o menor da face oposta é igual a 25, podemos concluir que na face oposta à que contém o 23 estão os números 1, 2, 3 e 4. Na face em que aparece o número 7 aparecem os números 5, 6 e 8, e na face oposta a esta estão os números 17, 18, 19 e 20. Logo, na face destacada (em cinza) pode estar qualquer número de 9 até 16.

Como a pergunta é qual é o menor número que pode aparecer na face cinza, a resposta é 9.

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Resolução comentada

Cada face recebe quatro números consecutivos, então as seis faces são blocos de 4 números: \{1\text{ a }4\}, \{5\text{ a }8\}, \{9\text{ a }12\}, \{13\text{ a }16\}, \{17\text{ a }20\}, \{21\text{ a }24\}. Os blocos são partições fixas de 1 a 24 em grupos de 4 consecutivos.

Regra das faces opostas: o maior de uma face somado ao menor da oposta dá 25. Com blocos \{4k+1,\dots,4k+4\}, o maior é 4k+4 e o menor da oposta deve ser 25-(4k+4)=21-4k. Esse número é da forma 4m+1 com m=5-k. Logo as faces opostas são os blocos k e 5-k:

\{1\text{–}4\} oposto a \{21\text{–}24\} (4+21=25);
\{5\text{–}8\} oposto a \{17\text{–}20\} (8+17=25);
\{9\text{–}12\} oposto a \{13\text{–}16\} (12+13=25).

Na figura, 23 está na face frontal (bloco 21–24) e 7 está na face lateral direita (bloco 5–8). Essas faces são adjacentes. A face de cima é adjacente às duas, então não pode ser nem 21–24, nem 1–4 (oposta à frontal), nem 5–8, nem 17–20 (oposta à lateral).

Sobram os blocos \{9\text{–}12\} e \{13\text{–}16\}. Nada na figura distingue qual dos dois fica em cima (um é o oposto do outro, e ambos são adjacentes às faces dadas). O menor número possível na face cinza ocorre com o bloco 9–12, cujo menor número é 9.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

A1 está no bloco 1–4, que é oposto ao do 23, logo não pode ser a face de cima.
B5 está no bloco 5–8, que é a face do 7, não a face cinza.
D11 está no bloco 9–12, mas não é o menor número possível da face.
E17 está no bloco 17–20, oposto ao do 7, logo não pode ficar em cima.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗