Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2014

Question

Na figura ao lado, ABCD e EFGC são quadrados de áreas R e S, respectivamente. Qual é a área da região cinza?

Figura geométrica composta por dois quadrados adjacentes ABCD e EFGC. O quadrado ABCD está à esquerda e é maior que o quadrado EFGC à direita. Os pontos D, C e G são colineares na base horizontal, e o ponto E está sobre o segmento vertical BC. Uma região cinza é delimitada pelo quadrilátero ABFG, com os lados AB, BF, FG e GA.

A
\dfrac{R + S}{2}
B
\dfrac{R - S}{2}
C
\dfrac{RS}{2}
D
\sqrt{RS}
E
\sqrt{R^2 + S^2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura ao lado, ABCD e EFGC são quadrados de áreas R e S, respectivamente. Qual é a área da região cinza?

Figura geométrica composta por dois quadrados adjacentes ABCD e EFGC. O quadrado ABCD está à esquerda e é maior que o quadrado EFGC à direita. Os pontos D, C e G são colineares na base horizontal, e o ponto E está sobre o segmento vertical BC. Uma região cinza é delimitada pelo quadrilátero ABFG, com os lados AB, BF, FG e GA.

A
\dfrac{R + S}{2}
B
\dfrac{R - S}{2}
C
\dfrac{RS}{2}
D
\sqrt{RS}
E
\sqrt{R^2 + S^2}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O lado do quadrado maior é \sqrt{R} e o lado do menor \sqrt{S}. Traçamos o segmento BG e vemos que ele divide a região cinza em dois triângulos ABG e BFG, cujas áreas, somadas, dão a área da região cinza. A área do triângulo ABG é \frac{\sqrt{R} \cdot \sqrt{R}}{2} = \frac{R}{2} e a área do triângulo BFG é \frac{\sqrt{S} \cdot \sqrt{S}}{2} = \frac{S}{2}. Logo, a área da região cinza é \frac{R + S}{2}.

[Figura: Dois quadrados adjacentes apoiados na mesma linha de base horizontal DG, sendo o quadrado maior ABCD à esquerda e o quadrado menor à direita com base CG e vértices C, G, F, E (com E sobre o segmento BC). O segmento BG está traçado em linha grossa dividindo a região cinza nos triângulos ABG e BFG. Linhas tracejadas indicam os segmentos EF e EC.]

Outra solução:

[Figura: Os dois quadrados inscritos em um retângulo ADGH, onde o segmento AH é prolongamento de AB e o segmento GH é o lado direito vertical passando por F. O triângulo retângulo BFH é traçado no canto superior direito sobre o quadrado menor, e a diagonal AG divide o retângulo ADGH.]

Construímos o triângulo BFH congruente ao triângulo BEF e denotamos por X a área de cada um deles. Se a área da região cinza é Y observamos que

Y + X = \frac{A(ADGH)}{2} = \frac{R + S + 2X}{2} = \frac{R + S}{2} + X\ ,

de onde concluímos que Y = \frac{R + S}{2}.

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Resolução comentada

Sejam a o lado de ABCD e b o lado de EFGC, de modo que R=a^2 e S=b^2.

Coloque D=(0,0), C=(a,0), G=(a+b,0), A=(0,a), B=(a,a). Como E está sobre BC e EFGC é quadrado de lado b, temos E=(a,b) e F=(a+b,b).

A região cinza é o quadrilátero ABFG. Calculamos sua área pela fórmula do cordão (Shoelace), com os vértices A(0,a), B(a,a), F(a+b,b), G(a+b,0):

x_Ay_B - x_By_A = 0\cdot a - a\cdot a = -a^2
x_By_F - x_Fy_B = a b - (a+b)a = -a^2
x_Fy_G - x_Gy_F = 0 - (a+b)b = -(a+b)b
x_Gy_A - x_Ay_G = (a+b)a - 0 = (a+b)a

Soma: -a^2 - a^2 - ab - b^2 + a^2 + ab = -a^2 - b^2.

Área =\dfrac{|-a^2-b^2|}{2}=\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{R+S}{2}.

Conferindo por outro caminho: o trapézio ABFG tem bases horizontais? Não; decompondo, o triângulo ABG tem base AB=a e altura a, área \dfrac{a^2}{2}, e o triângulo BFG tem área \dfrac{(a+b)\cdot... }{} — o resultado do cordão já é suficiente e coerente: \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BSubtrai as áreas em vez de somá-las; a região cinza inclui parte de cada quadrado.
CUsa o produto RS, que não tem dimensão de área e não resulta da decomposição.
DA média geométrica \sqrt{RS}=ab não é a área pedida, que é (a^2+b^2)/2.
EAplica Pitágoras às áreas, misturando dimensões; \sqrt{R^2+S^2} não é área do quadrilátero.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗