Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2014

Question

Todos os números de 1 a 24 devem ser escritos nas faces de um cubo, obedecendo-se às seguintes regras:

em cada face devem ser escritos quatro números consecutivos;
em cada par de faces opostas, a soma do maior número de uma com o menor número da outra deve ser igual a 25.

Se os números 7 e 23 estiverem escritos no cubo como na figura, qual é o menor número que pode ser escrito na face destacada em cinza?

Cubo com faces subdivididas em 4 partes quadradas menores. A face superior está destacada em cinza. A face frontal apresenta o número 23 no quadrante inferior direito, e a face lateral direita apresenta o número 7 no quadrante superior esquerdo.

A
1
B
5
C
9
D
11
E
17

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Todos os números de 1 a 24 devem ser escritos nas faces de um cubo, obedecendo-se às seguintes regras:

em cada face devem ser escritos quatro números consecutivos;
em cada par de faces opostas, a soma do maior número de uma com o menor número da outra deve ser igual a 25.

Se os números 7 e 23 estiverem escritos no cubo como na figura, qual é o menor número que pode ser escrito na face destacada em cinza?

Cubo com faces subdivididas em 4 partes quadradas menores. A face superior está destacada em cinza. A face frontal apresenta o número 23 no quadrante inferior direito, e a face lateral direita apresenta o número 7 no quadrante superior esquerdo.

A
1
B
5
C
9
D
11
E
17

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como em cada face aparecem quatro números consecutivos, então na face onde estiver o número 1, obrigatoriamente estarão os números 1, 2, 3 e 4. Logo, na face onde estiver o número 5 estarão os números 5, 6, 7 e 8, e assim, sucessivamente, até chegarmos à face com os números 21, 22, 23 e 24.

[Figura: Representação de um cubo em perspectiva com faces divididas em quatro partes (2 \times 2). A face superior é sombreada em cinza, a face frontal exibe o número 23 no canto inferior direito e a face lateral direita exibe o número 7 no canto superior esquerdo.]

Sendo assim, no cubo apresentado a face com o número 23 também apresenta os números 21, 22 e 24. Como o enunciado diz que a soma do maior número de uma face com o menor da face oposta é igual a 25, podemos concluir que na face oposta à que contém o 23 estão os números 1, 2, 3 e 4. Na face em que aparece o número 7 aparecem os números 5, 6 e 8, e na face oposta a esta estão os números 17, 18, 19 e 20. Logo, na face destacada (em cinza) pode estar qualquer número de 9 até 16.

Como a pergunta é qual é o menor número que pode aparecer na face cinza, a resposta é 9.

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Resolução comentada

Os números de 1 a 24 formam seis grupos de quatro consecutivos: \{1\text{–}4\}, \{5\text{–}8\}, \{9\text{–}12\}, \{13\text{–}16\}, \{17\text{–}20\} e \{21\text{–}24\}. Os menores de cada grupo são 1, 5, 9, 13, 17 e 21.

Se duas faces são opostas e uma tem menor número m (maior m+3), a outra tem menor n (maior n+3). A regra pede (m+3)+n=25, ou seja, m+n=22.

Os pares de menores que somam 22 são:

1+21: faces \{1\text{–}4\} e \{21\text{–}24\}.
5+17: faces \{5\text{–}8\} e \{17\text{–}20\}.
9+13: faces \{9\text{–}12\} e \{13\text{–}16\}.

O 23 está na face da frente, que pertence ao grupo \{21\text{–}24\}. Sua oposta (a de trás) é \{1\text{–}4\}.

O 7 está na face lateral direita, do grupo \{5\text{–}8\}. Sua oposta (a da esquerda) é \{17\text{–}20\}.

Sobra o par \{9\text{–}12\} e \{13\text{–}16\} para as faces de cima e de baixo. A face cinza (de cima) pode ser qualquer um dos dois grupos. O menor número possível nela é o menor do grupo \{9\text{–}12\}, isto é, 9.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO 1 está no grupo oposto ao do 23 (face de trás), não na face de cima.
BO 5 pertence ao grupo do 7, que é a face lateral direita.
DO 11 pode estar na face de cima, mas não é o menor valor possível, pois o grupo permite o 9.
EO 17 pertence ao grupo oposto ao do 7 (face da esquerda).

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗