Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Pela figura, há dois triângulos grandes apoiados em AC: o triângulo da esquerda, de vértices A, B e o topo pequeno, e o da direita, de vértices B, C e o topo alto. Um segmento transversal liga o lado direito do triângulo pequeno ao lado esquerdo do triângulo grande, formando com esses lados um triângulo central com vértice em B.

A ideia é usar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ e que os ângulos em B sobre a reta AC somam 180^\circ.

1. Triângulo da esquerda (A, B e o topo): os ângulos em A e no topo, mais o ângulo em B, somam 180^\circ. Chamando o ângulo em B de x: (ângulo em A) + (ângulo do topo) = 180^\circ - x.

2. Triângulo da direita (B, C e o topo): (ângulo em C) + (ângulo do topo) = 180^\circ - y, sendo y o ângulo em B desse triângulo.

3. Em B, sobre a reta AC, os ângulos x, o ângulo central z e y somam 180^\circ: x + z + y = 180^\circ.

4. Os dois ângulos cinza junto ao segmento transversal, com o ângulo z em B, formam o triângulo central: eles somam 180^\circ - z.

Soma dos seis ângulos cinza:

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma 3\cdot180^\circ e esquece de descontar os ângulos em B, que não estão pintados e somam 180^\circ.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma apenas ângulos de um triângulo e meio, sem considerar os três triângulos.
• BEsquece que há três triângulos e usa só a soma de um deles (180^\circ).
• CConsidera só dois triângulos completos mais metade, resultado sem base na figura.
• ESoma os três triângulos (3\cdot180^\circ) sem descontar os 180^\circ dos ângulos em B.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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