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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Guilherme começa a escrever os números naturais em figuras triangulares de acordo com o padrão abaixo:

Sequência de triângulos equiláteros subdivididos em 9 triângulos menores. O Triângulo 1 contém os números de 1 a 9; o Triângulo 2 contém de 10 a 18; o Triângulo 3 contém de 19 a 27, seguido por uma seta e reticências.

Nomeando as casas de cada um desses triângulos com as letras A, B, C, D, E, F, G, H e I, como na figura ao lado, ele pode codificar cada número natural por meio do número do triângulo e da letra da casa em que ele aparece.

Triângulo equilátero subdividido em 9 triângulos menores identificados por letras: a casa superior é A; na linha do meio estão B, C (invertido) e D; na linha inferior estão E, F (invertido), G, H (invertido) e I.

Por exemplo, o número 5 é codificado por 1E, pois aparece na casa E do Triângulo 1. Já o número 26 é codificado por 3H, pois aparece na casa H do Triângulo 3. Como Guilherme codifica o número 2014?

  1. A
    222E
  2. B
    222G
  3. C
    223H
  4. D
    224E
  5. E
    224G
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada triângulo tem 9 casas, então os números se repetem em blocos de 9: o Triângulo 1 vai de 1 a 9, o Triângulo 2 de 10 a 18, e assim por diante. O Triângulo n termina no número 9n.

Para achar o triângulo de 2014, divida por 9:

  1. 2014 \div 9 = 223 com resto 7, pois 9 \times 223 = 2007.
  2. Os 223 primeiros triângulos completos terminam no número 2007.
  3. Logo, 2014 está no Triângulo 224, que começa em 2008.
  4. A posição dentro do triângulo é 2014 - 2007 = 7, ou seja, a 7ª casa.

Agora, a ordem das casas na figura 1 (numeração 1 a 9) corresponde às letras da figura 2: 1 = A, 2 = B, 3 = C, 4 = D, 5 = E, 6 = F, 7 = G, 8 = H, 9 = I. Conferindo com os exemplos: 5 é E e 26 = 18 + 8 é H, como no enunciado.

A 7ª casa é a letra G. Portanto, 2014 é codificado por 224G.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa o quociente 223 como número do triângulo, esquecendo que o resto 7 indica que já está no triângulo seguinte (224).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa o triângulo 222 e a casa E, o que não bate com 2014 = 9\times223+7.
  • BAcerta a letra G, mas o triângulo 222 está errado, pois termina em 1998.
  • CTriângulo 223 termina em 2007, e a casa H seria o 8º número, não o 7º.
  • DAcerta o triângulo 224, mas a casa E é a 5ª, e 2014 é a 7ª.

Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗