Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Fatorando, 1000 = 2^3\cdot 5^3. Os algarismos são de 1 a 9 (nenhum pode ser 0). O algarismo 5 é o único com fator 5, então precisamos de exatamente três algarismos 5 (um 5 só contribui com um fator 5, e 0 não serve).

Sobram dois algarismos, cujo produto deve ser 2^3 = 8. Os pares possíveis (ordem não importa) são:

1. \{1,8\}
2. \{2,4\}

(O par \{8,1\} já foi contado; \{2,4\} dá 8; não há outro, pois com 4 e 2 ou 8 e 1 esgotamos os divisores de 8 menores que 10.)

Contando as permutações de cada conjunto de cinco algarismos:

• \{5,5,5,1,8\}: \dfrac{5!}{3!} = 20 números.
• \{5,5,5,2,4\}: \dfrac{5!}{3!} = 20 números.

Total: 20 + 20 = 40.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANúmero muito pequeno; conta só algumas posições, ignorando as permutações dos algarismos.
• BConsidera apenas um dos conjuntos de algarismos ({1,8} ou {2,4}) e esquece o outro.
• CNão corresponde a nenhuma contagem correta das permutações.
• DNão corresponde a nenhuma contagem correta; soma errada dos casos.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Divisibilidade, MMC e MDC.

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