Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O paralelogramo ABCD tem área 24\text{ cm}^2 e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero EFGH?

Paralelogramo ABCD com vértices A, B, C e D. Os pontos E e F são pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Os segmentos DE e DF intersectam a diagonal AC nos pontos H e G, delimitando a região sombreada EFGH.

  1. A
    4\text{ cm}^2
  2. B
    5\text{ cm}^2
  3. C
    6\text{ cm}^2
  4. D
    7\text{ cm}^2
  5. E
    8\text{ cm}^2
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

Vamos usar coordenadas afins, que preservam razões de áreas e de segmentos. Tomamos B=(0,0), A=(1,0), C=(0,1) e D=(1,1). Esse paralelogramo (um quadrado) tem área 1, que corresponde a 24\text{ cm}^2.

Os pontos médios são E=(1/2,0) e F=(0,1/2).

  1. A diagonal AC é a reta x+y=1.
  2. A reta DE passa por D=(1,1) e E=(1/2,0) e tem equação y=2x-1. Ela corta AC em x+2x-1=1, ou seja, x=2/3. Logo H=(2/3,1/3).
  3. Por simetria, DF corta AC em G=(1/3,2/3).
  4. Calculamos a área de EFGH pela fórmula de Gauss (ou do cadarço), com os vértices na ordem E(1/2,0), H(2/3,1/3), G(1/3,2/3), F(0,1/2):
\sum x_iy_{i+1}=\tfrac12\cdot\tfrac13+\tfrac23\cdot\tfrac23+\tfrac13\cdot\tfrac12+0\cdot 0=\tfrac16+\tfrac49+\tfrac16=\tfrac{7}{9}
\sum y_ix_{i+1}=0\cdot\tfrac23+\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac23\cdot 0+\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac19+\tfrac14=\tfrac{13}{36}

A diferença é \tfrac{28}{36}-\tfrac{13}{36}=\tfrac{15}{36}, e a área é metade disso: \tfrac{5}{24}.

  1. Como o paralelogramo todo vale 1, a área pedida é \tfrac{5}{24}\cdot 24=5\text{ cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima a região; não corresponde à razão 5/24 da área total.
  • CCorresponde a 1/4 do paralelogramo, razão que não aparece no cálculo.
  • DValor sem justificativa, acima da razão correta de 5/24.
  • ECorresponde a 1/3 da área, o que ignora que H e G dividem AC em três partes iguais, mas a região não é 1/3 do total.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗