Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2014

Question

Na cidade de Isabel e Talia, o preço de uma corrida de táxi, registrado no taxímetro, é calculado multiplicando-se um certo valor pelo número de quilômetros percorridos, acrescentando-se R$ 4,00 a esse total. O taxímetro sempre inicia a corrida marcando esses R$ 4,00. Elas pegaram um mesmo táxi e combinaram dividir o valor total da corrida de forma proporcional à distância que cada uma percorreria. Quando o taxímetro marcava R$ 28,00, Isabel desceu sem pagar nada. O táxi prosseguiu com Talia, que pagou no final o valor de R$ 44,00 registrado no taxímetro, correspondente a todo o percurso. Quanto Talia deve receber de Isabel?

A
R$ 4,00
B
R$ 9,00
C
R$ 13,50
D
R$ 14,00
E
R$ 16,50

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Razão e proporção

Na cidade de Isabel e Talia, o preço de uma corrida de táxi, registrado no taxímetro, é calculado multiplicando-se um certo valor pelo número de quilômetros percorridos, acrescentando-se R$ 4,00 a esse total. O taxímetro sempre inicia a corrida marcando esses R$ 4,00. Elas pegaram um mesmo táxi e combinaram dividir o valor total da corrida de forma proporcional à distância que cada uma percorreria. Quando o taxímetro marcava R$ 28,00, Isabel desceu sem pagar nada. O táxi prosseguiu com Talia, que pagou no final o valor de R$ 44,00 registrado no taxímetro, correspondente a todo o percurso. Quanto Talia deve receber de Isabel?

A
R$ 4,00
B
R$ 9,00
C
R$ 13,50
D
R$ 14,00
E
R$ 16,50

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sendo x a distância percorrida com as duas juntas e y a distância percorrida apenas por Talia, fica claro que Isabel deve pagar pela distância x e Talia pela distância x + y. Como os pagamentos são proporcionais a essas distâncias, a fração correspondente a Isabel é \frac{x}{x+(x+y)} = \frac{x}{2x+y}. Seja p o preço por quilômetro rodado. Então

\left| \begin{array}{l} 4 + px = 28 \\ 4 + px + py = 44 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l} px = 28 - 4 = 24 \\ 4 + 24 + py = 44 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l} px = 24 \\ py = 44 - 4 - 24 = 16 \end{array} \right.

Portanto, Isabel deve pagar \frac{x}{2x+y} = \frac{\frac{24}{p}}{2 \cdot \frac{24}{p} + \frac{16}{p}} = \frac{24}{48+16} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8} do valor total, ou seja, Talia deve receber de Isabel \frac{3}{8} \cdot 44 = R$ 16,50. Observe que não foi necessário conhecer o valor de p.

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Resolução comentada

A divisão deve ser proporcional à distância percorrida por cada passageira, e não aos trechos antes e depois da descida de Isabel. Talia percorreu todo o trajeto, inclusive a parte em que estava com Isabel.

Como os R$ 4,00 iniciais não correspondem a quilômetros percorridos, precisamos descontá-los para comparar as distâncias.

Seja v o preço cobrado por quilômetro. Até Isabel descer, o valor referente ao deslocamento era:

28-4=24.

Logo, Isabel percorreu \frac{24}{v} quilômetros.

No percurso completo, o valor referente ao deslocamento foi:

44-4=40.

Portanto, Talia percorreu \frac{40}{v} quilômetros. A razão entre as distâncias das duas é:

d_I:d_T=24:40=3:5.

Assim, o valor total de R$ 44,00 deve ser dividido em 3+5=8 partes iguais, das quais Isabel paga três:

\text{parte de Isabel}=44\cdot\frac{3}{8}=16{,}50.

Os R$ 4,00 foram retirados apenas para determinar as distâncias; eles continuam incluídos no total a dividir. Como Talia pagou toda a corrida, deve receber de Isabel R$ 16,50.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana ao sugerir dividir por dois o valor marcado na descida de Isabel, mas o combinado foi repartir o total proporcionalmente à distância de cada passageira.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera apenas a tarifa inicial, sem dividir o custo total proporcionalmente às distâncias.
BNão corresponde à fração de três oitavos do total, devida por Isabel.
CNão mantém a proporção de 3 para 5 entre os valores pagos por Isabel e Talia.
DDivide os R$ 28,00 por dois, em vez de repartir o total proporcionalmente às distâncias.

Assunto: Razão e proporção.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗