Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2013

Question

Dois quadrados de papel se sobrepõem como na figura. A região não sobreposta do quadrado menor corresponde a 52% de sua área e a região não sobreposta do quadrado maior corresponde a 73% de sua área. Qual é a razão entre o lado do quadrado menor e o lado do quadrado maior?

Dois quadrados sobrepostos: um quadrado menor amarelo com a indicação "52%" na parte não sobreposta, e um quadrado maior magenta com a indicação "73%" na parte não sobreposta; a região de sobreposição entre eles está destacada em laranja.

A
\dfrac{3}{4}
B
\dfrac{5}{8}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{4}{7}
E
\dfrac{4}{5}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Dois quadrados de papel se sobrepõem como na figura. A região não sobreposta do quadrado menor corresponde a 52% de sua área e a região não sobreposta do quadrado maior corresponde a 73% de sua área. Qual é a razão entre o lado do quadrado menor e o lado do quadrado maior?

Dois quadrados sobrepostos: um quadrado menor amarelo com a indicação "52%" na parte não sobreposta, e um quadrado maior magenta com a indicação "73%" na parte não sobreposta; a região de sobreposição entre eles está destacada em laranja.

A
\dfrac{3}{4}
B
\dfrac{5}{8}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{4}{7}
E
\dfrac{4}{5}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos chamar de \ell e L, respectivamente, os lados do quadrado menor e do quadrado maior, e de Q a área comum aos dois quadrados. Então Q corresponde a 100 - 52 = 48\% da área do quadrado menor e a 100 - 73 = 27\% da área do quadrado maior. Segue que \frac{48}{100}\ell^2 = \frac{27}{100}L^2 ; logo \left(\frac{\ell}{L}\right)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2, ou seja, \frac{\ell}{L} = \frac{3}{4}.

[Figura: Dois quadrados sobrepostos parcialmente. O quadrado menor, em tom cinza claro, tem a anotação 52% na região externa à sobreposição; o quadrado maior, em tom cinza escuro, tem a anotação 73% na sua região externa à sobreposição.]

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Resolução comentada

A região de sobreposição é a mesma para os dois quadrados, então vamos calcular sua área de duas formas.

Seja a o lado do quadrado menor e b o lado do maior.

Se 52\% do quadrado menor não está sobreposto, a sobreposição é 100\% - 52\% = 48\% da área dele: 0{,}48\,a^2.
Se 73\% do quadrado maior não está sobreposto, a sobreposição é 100\% - 73\% = 27\% da área dele: 0{,}27\,b^2.

Como é a mesma região, as duas áreas são iguais:

0{,}48\,a^2 = 0{,}27\,b^2

Isolando a razão entre as áreas:

\frac{a^2}{b^2} = \frac{0{,}27}{0{,}48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}

A razão entre os lados é a raiz quadrada da razão entre as áreas:

\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

O quadrado menor tem lado igual a \frac{3}{4} do lado do maior, o que é coerente, pois \frac{3}{4} < 1.

Alternativa A.

Pegadinha: Quem esquece de tirar a raiz quadrada e responde 9/16 não encontra alternativa; quem usa 52% e 73% diretamente (sem subtrair de 100%) erra a sobreposição.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com as contas; não decorre da igualdade das áreas de sobreposição.
CValor sem relação com as contas; a razão correta das áreas é 9/16, não 4/9.
DNão corresponde à raiz de 27/48; resultado de erro de cálculo.
ENão corresponde à raiz de 27/48; resultado de erro de cálculo.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Porcentagem.

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Questão 9 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗