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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Dois quadrados de papel se sobrepõem como na figura. A área não sobreposta do quadrado menor corresponde a 52\% da área desse quadrado e a área não sobreposta do quadrado maior corresponde a 73\% da área desse quadrado. Qual é a razão entre os lados do quadrado menor e do quadrado maior?

Dois quadrados sobrepostos: um quadrado menor amarelo com a indicação 52% na região não sobreposta, um quadrado maior roxo com a indicação 73% na região não sobreposta, e a região de interseção destacada em laranja.

  1. A
    \dfrac{3}{4}
  2. B
    \dfrac{5}{8}
  3. C
    \dfrac{2}{3}
  4. D
    \dfrac{4}{7}
  5. E
    \dfrac{4}{5}
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Chame de x o lado do quadrado menor e de y o lado do maior. A região de interseção é comum aos dois quadrados, então basta calcular que fração de cada quadrado ela ocupa.

  1. No quadrado menor, a parte não sobreposta é 52\%. Logo a interseção é 100\% - 52\% = 48\% da área dele: I = 0{,}48\,x^2.
  2. No quadrado maior, a parte não sobreposta é 73\%. Logo a interseção é 100\% - 73\% = 27\% da área dele: I = 0{,}27\,y^2.

Como é a mesma região, igualamos:

0{,}48\,x^2 = 0{,}27\,y^2
  1. Isolando a razão entre as áreas:
\frac{x^2}{y^2} = \frac{0{,}27}{0{,}48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}
  1. Tirando a raiz quadrada, já que a razão entre os lados é positiva:
\frac{x}{y} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

O quadrado menor tem lado igual a \frac{3}{4} do lado do maior.

Alternativa A.

Pegadinha: Usar 52% e 73% diretamente em vez de tomar os complementos (48% e 27%) que correspondem à interseção; e esquecer a raiz quadrada, ficando com a razão das áreas 9/16.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com \sqrt{9/16}; não vem de nenhuma conta correta com 48% e 27%.
  • CNão corresponde à razão entre as áreas 27/48 nem à sua raiz.
  • DValor sem origem nos dados; a raiz de 27/48 é 3/4.
  • EUsa as porcentagens 52% e 73% de modo incorreto, sem passar pela interseção (48% e 27%).

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Porcentagem.

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Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗