Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2013

Question

Duas formiguinhas caminham uma ao encontro da outra sobre a reta numerada. Cada uma delas caminha com velocidade constante. Em um certo instante elas estavam sobre os pontos indicados na figura 1 e, exatamente um segundo depois, estavam nos pontos indicados na figura 2. Elas vão se encontrar entre os pontos:

Duas retas numeradas representando a posição de duas formigas caminhando uma em direção à outra: na Figura 1, a formiga da esquerda está no ponto -3 e a da direita no ponto 100; na Figura 2, um segundo depois, a formiga da esquerda está no ponto 2 e a da direita no ponto 98.

A
66 e 67
B
68 e 69
C
69 e 70
D
70 e 71
E
72 e 73

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Duas formiguinhas caminham uma ao encontro da outra sobre a reta numerada. Cada uma delas caminha com velocidade constante. Em um certo instante elas estavam sobre os pontos indicados na figura 1 e, exatamente um segundo depois, estavam nos pontos indicados na figura 2. Elas vão se encontrar entre os pontos:

Duas retas numeradas representando a posição de duas formigas caminhando uma em direção à outra: na Figura 1, a formiga da esquerda está no ponto -3 e a da direita no ponto 100; na Figura 2, um segundo depois, a formiga da esquerda está no ponto 2 e a da direita no ponto 98.

A
66 e 67
B
68 e 69
C
69 e 70
D
70 e 71
E
72 e 73

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos chamar de A a formiguinha da esquerda e de B a formiguinha da direita. Na figura 1, A está duas unidades à esquerda do número -1, ou seja, sobre o número -3; na figura 2, ela está sobre o número 2. Na figura 1, B está sobre o número 100 e, na figura 2, sobre o número 98. Desse modo, em um segundo, A anda 2 - (-3) = 5 unidades e B anda 100 - 98 = 2 unidades. Assim, as posições de A e B são, respectivamente, dadas (em unidades) por a = -3 + 5t e b = 100 - 2t, onde t é o tempo medido em segundos. As formiguinhas se encontrarão quando a = b, ou seja, no tempo t tal que -3 + 5t = 100 - 2t. Temos então 7t = 103, ou seja, t = \frac{103}{7}. A posição de B (e de A) nesse instante é 100 - 2 \times \frac{103}{7} = \frac{494}{7}, que é aproximadamente 70{,}6. Logo as formiguinhas se encontrarão entre os pontos 70 e 71.

[Figura: Figura 1 e Figura 2 ilustram retas numéricas com marcas inteiras; na Figura 1, a formiga A está sobre a posição -3 e a formiga B sobre a posição 100; na Figura 2, a formiga A está sobre a posição 2 e a formiga B sobre a posição 98.]

Outra solução é a seguinte. Já calculamos as velocidades das formiguinhas: A se desloca a 5 unidades por segundo e B a 2 unidades por segundo. Como elas andam em sentido contrário, a distância entre elas diminui 7 unidades por segundo. A distância inicial entre A e B é 100 - (-3) = 103 unidades; como 103 = 14 \times 7 + 5, concluímos que após 14 segundos a distância entre as formiguinhas será 5 unidades; nesse instante, A estará no ponto -3 + 5 \times 14 = 67 e B no ponto 100 - 2 \times 14 = 72. Dividimos a distância 5 em 7 partes iguais; as formiguinhas se encontrarão quando A tiver percorrido 5 dessas partes e B tiver percorrido 2 dessas partes. Logo o ponto de encontro será o ponto 67 + 5 \times \frac{5}{7} = \frac{494}{7}, que é aproximadamente 70{,}6.

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Resolução comentada

Cada formiga tem velocidade constante, então basta descobrir quanto cada uma anda em 1 segundo e escrever a posição em função do tempo t (em segundos).

Pela figura, a formiga da esquerda começa em -3 e, um segundo depois, está em 2. A formiga da direita começa em 100 e, um segundo depois, está em 98.

Velocidade da esquerda: 2-(-3)=5 unidades por segundo.
Velocidade da direita: 98-100=-2, ou seja, 2 unidades por segundo para a esquerda.
Posição da esquerda: x_E=-3+5t.
Posição da direita: x_D=100-2t.

Elas se encontram quando x_E=x_D:

-3+5t=100-2t \Rightarrow 7t=103 \Rightarrow t=\frac{103}{7}\approx 14{,}71\ \text{s}

Substituindo na posição da esquerda:

x=-3+5\cdot\frac{103}{7}=\frac{-21+515}{7}=\frac{494}{7}\approx 70{,}57

Conferindo pela direita: 100-2\cdot\frac{103}{7}=\frac{700-206}{7}=\frac{494}{7}, o mesmo valor.

Como 70<70{,}57<71, o encontro acontece entre os pontos 70 e 71.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito baixo; não resulta de nenhuma conta correta com as velocidades 5 e 2.
BValor abaixo do correto, provavelmente de erro ao igualar as posições.
CFica perto, mas 494/7\approx70{,}57 não está entre 69 e 70.
EValor acima do correto; ignora que a formiga da direita também anda 2 unidades por segundo.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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Questão 10 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗