Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2013

Resolução comentada

Pela divisão euclidiana, o número N pode ser escrito como N = 285q + 77, com q inteiro.

Observe que 285 = 57 \times 5. Logo, 285q é múltiplo de 57 e não altera o resto da divisão por 57. Só o 77 importa.

1. Reescreva: N = 57\cdot(5q) + 77.
2. Divida 77 por 57: 77 = 57\cdot 1 + 20.
3. Substitua: N = 57\cdot(5q) + 57 + 20 = 57\cdot(5q+1) + 20.

Como 20 < 57, o resto é 20.

Exemplo para conferir: com q=0, N=77, e 77 = 57\cdot 1 + 20. Com q=1, N=362, e 362 = 57\cdot 6 + 20. Funciona.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASupõe que, por 285 ser múltiplo de 57, o número também seria, esquecendo o resto 77.
• CNão corresponde a nenhuma conta correta; o resto de 77 por 57 é 20, não 40.
• DValor sem fundamento no cálculo, não resulta de 77 mod 57.
• EConfunde com 57 − 1, o maior resto possível, sem calcular.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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