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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura representa um retângulo de 120\text{ m}^2 de área. Os pontos M e N são os pontos médios dos lados a que pertencem. Qual é a área da região sombreada?

Retângulo com uma diagonal traçada do vértice superior esquerdo ao inferior direito, e dois segmentos inclinados paralelos: um ligando o vértice inferior esquerdo ao ponto médio N do lado superior, e outro ligando o ponto médio M do lado inferior ao vértice superior direito. A região sombreada em cinza é um quadrilátero delimitado no topo pelo segmento do lado superior entre N e o vértice superior direito.

  1. A
    20\text{ m}^2
  2. B
    24\text{ m}^2
  3. C
    30\text{ m}^2
  4. D
    36\text{ m}^2
  5. E
    40\text{ m}^2
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Resolução comentada

Resolução comentada

Coloque o retângulo com A=(0,0) embaixo à esquerda, B=(a,0), C=(a,b) e D=(0,b), com ab=120. Então N=(a/2,b) e M=(a/2,0).

As retas da figura são:

  • a diagonal de D até B;
  • o segmento AN;
  • o segmento MC.

Os segmentos AN e MC são paralelos, pois AM=NC=a/2 e AM \parallel NC, o que faz AMCN ser um paralelogramo.

A região sombreada é limitada por N, C, pelo ponto Q (onde MC cruza DB) e pelo ponto P (onde AN cruza DB).

  1. Em DB: y=b-\frac{b}{a}x. Em AN: y=\frac{2b}{a}x. Igualando: b=\frac{3b}{a}x, logo x=\frac{a}{3} e P=(a/3,\,2b/3).
  2. Em MC: y=\frac{2b}{a}(x-a/2). Igualando com DB: b-\frac{b}{a}x=\frac{2b}{a}x-b, logo 2b=\frac{3b}{a}x e x=\frac{2a}{3}. Assim Q=(2a/3,\,b/3).
  3. O quadrilátero N,C,Q,P é um paralelogramo, pois NC\parallel PQ? Não: PQ está sobre a diagonal. Então NP\parallel CQ (ambos paralelos a AN), e o quadrilátero é um trapézio com esses lados paralelos.

Calculando pela fórmula de Gauss, com vértices N(a/2,b), P(a/3,2b/3), Q(2a/3,b/3), C(a,b) (em ordem):

\text{soma}=\left(\tfrac{a}{2}\cdot\tfrac{2b}{3}-\tfrac{a}{3}b\right)+\left(\tfrac{a}{3}\cdot\tfrac{b}{3}-\tfrac{2a}{3}\cdot\tfrac{2b}{3}\right)+\left(\tfrac{2a}{3}b-a\cdot\tfrac{b}{3}\right)+\left(ab-\tfrac{a}{2}b\right)
=0+\left(-\tfrac{ab}{3}\right)+\tfrac{ab}{3}+\tfrac{ab}{2}=\tfrac{ab}{2}

Área =\frac12\cdot\frac{ab}{2}=\frac{ab}{4}=\frac{120}{4}=30\ \text{m}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde a ab/6, que não é a área do quadrilátero sombreado.
  • BCorresponde a ab/5, valor sem base na divisão da figura.
  • DCorresponde a 3ab/10, sem relação com as proporções da figura.
  • ECorresponde a ab/3, supondo erradamente que a região é um terço do retângulo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗