Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

A figura mostra quatro circunferências, todas de comprimento 1 e tangentes nos pontos indicados. Qual é a soma dos comprimentos dos arcos destacados em vermelho?

Quatro circunferências de mesmo raio tangentes entre si nos pontos pretos assinalados, com os arcos exteriores destacados em vermelho

A
\frac{3}{2}
B
2
C
\frac{9}{4}
D
\frac{8}{3}
E
3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

A figura mostra quatro circunferências, todas de comprimento 1 e tangentes nos pontos indicados. Qual é a soma dos comprimentos dos arcos destacados em vermelho?

Quatro circunferências de mesmo raio tangentes entre si nos pontos pretos assinalados, com os arcos exteriores destacados em vermelho

A
\frac{3}{2}
B
2
C
\frac{9}{4}
D
\frac{8}{3}
E
3

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Quatro circunferências congruentes tangentes entre si, com centros formando um losango com vértices nos centros D (superior), G (inferior) e dois centros laterais, sendo o da direita denominado A. Os pontos de tangência são indicados por B (entre as circunferências de centros A e D), C (entre A e G), E e F. Segmentos conectam os centros aos pontos de tangência, indicando o ângulo central de 60^\circ no vértice A e o ângulo central de 120^\circ no vértice D. Os arcos externos das circunferências estão traçados em vermelho e os arcos internos que delimitam a região central estão em preto.]

Seja r o raio comum das circunferências. Unindo os centros A, D e G de três das circunferências, como na figura ao lado, e lembrando que a reta que passa pelos centros de duas circunferências tangentes passa também pelo ponto de tangência, vemos que o triângulo ADG é equilátero, pois todos seus lados medem 2r. Logo todos seus ângulos medem 60^\circ; em particular, o ângulo central \overgroup{BAC} mede 60^\circ. Segue que o arco preto \overgroup{BC} corresponde ao ângulo central de 60^\circ = \frac{1}{6} \times 360^\circ, ou seja, esse arco mede \frac{1}{6} do comprimento da circunferência, que é \frac{1}{6} \times 1 = \frac{1}{6}; esse também é o comprimento do arco preto \overgroup{EF}. Já o arco preto \overgroup{BE} corresponde a um ângulo central de 120^\circ; seu comprimento é então duas vezes o de um arco correspondente a 60^\circ, ou seja, é 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}, que é também o comprimento do arco preto \overgroup{CF}. Desse modo, o comprimento total dos arcos pretos é 2 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{3} = 1; como a soma dos comprimentos das circunferências é 4, o comprimento dos arcos vermelhos é 4 - 1 = 3.

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Resolução comentada

Cada circunferência tem comprimento 1. O que a figura destaca em vermelho é cada circunferência inteira, menos o arco interno que fica entre dois pontos de tangência (preto). Basta descobrir que fração da circunferência é esse arco interno.

Os quatro centros formam um quadrilátero cujos lados ligam centros de circunferências tangentes, ou seja, medem 2r. Logo, é um losango de lado 2r.

A figura mostra que as duas circunferências da esquerda e da direita tangenciam as de cima e de baixo, e que as de cima e de baixo se tocam no ponto central. Já as da esquerda e da direita não se tocam. Então os centros de cima e de baixo estão a distância 2r, e cada um dos outros dois centros está a 2r de ambos. Assim, os três centros (esquerda, cima, baixo) formam um triângulo equilátero de lado 2r, e o mesmo vale para (direita, cima, baixo).

O arco interno de cada circunferência vai de um ponto de tangência a outro, e esses pontos ficam sobre os lados do losango, vistos do centro dessa circunferência:

Nas circunferências de cima e de baixo, o ângulo entre as direções para os outros três centros é 60^\circ (esquerda–direita, passando pelo outro centro), pois o ângulo do losango nesses vértices é 120^\circ, e o arco interno é o ângulo formado entre as direções para o centro esquerdo e para o direito.
Nas circunferências da esquerda e da direita, o ângulo do losango é 60^\circ, e o arco interno mede 60^\circ.

Conferindo: os vértices de cima e de baixo têm ângulo de 120^\circ (arco interno de 120^\circ), e os da esquerda e direita têm 60^\circ.

Soma dos ângulos internos: 120+120+60+60=360^\circ, ou seja, uma circunferência inteira, de comprimento 1.

O total das quatro circunferências é 4; retirando os arcos internos, sobra 4-1=3.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor pequeno demais, não corresponde a nenhuma remoção coerente dos arcos internos.
BSupõe que se retira metade do total de 4, mas os arcos internos somam só uma circunferência.
CResulta de uma fração errada dos ângulos internos, sem somar 360^\circ.
DTrata os arcos internos como 4/3 de circunferência, o que não bate com a soma dos ângulos do losango.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗