Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Na figura, as retas DE e DF são paralelas, respectivamente, aos lados AC e BC do triângulo ABC. Os triângulos ADF e DBE têm áreas 16 e 9, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero CFDE?

Triângulo ABC com os triângulos ADF e DBE sombreados com áreas 16 e 9, respectivamente, e quadrilátero CFDE não sombreado

A
18
B
21
C
24
D
25
E
27

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura, as retas DE e DF são paralelas, respectivamente, aos lados AC e BC do triângulo ABC. Os triângulos ADF e DBE têm áreas 16 e 9, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero CFDE?

Triângulo ABC com os triângulos ADF e DBE sombreados com áreas 16 e 9, respectivamente, e quadrilátero CFDE não sombreado

A
18
B
21
C
24
D
25
E
27

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Solução oficial da OBMEP

Os triângulos ADF e DEB são semelhantes por terem lados paralelos. A razão entre suas áreas é o quadrado da razão de semelhança; como \frac{16}{9} = \left(\frac{4}{3}\right)^2, segue que essa razão é \frac{4}{3}. Como DECF é um paralelogramo, temos CF = ED e daí \frac{AF}{CF} = \frac{AF}{ED} = \frac{4}{3}. Os triângulos ABC e ADF são semelhantes; sua razão de semelhança é \frac{AC}{AF} = \frac{AF + CF}{AF} = 1 + \frac{CF}{AF} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}. Logo, a área do triângulo ABC é \left(\frac{7}{4}\right)^2 \times 16 = 49 e a área de DECF é 49 - (16 + 9) = 24.

[Figura: Triângulo ABC com vértices A à esquerda, B à direita e C no topo. No lado AB encontra-se o ponto D, no lado AC o ponto F e no lado BC o ponto E. Os triângulos ADF e DEB estão sombreados em cinza com os números 16 e 9 em seus interiores, respectivamente, formando entre eles o paralelogramo não sombreado DECF.]

Uma segunda solução, que mostra um interessante fato geral, é a seguinte. Os triângulos ADF, DBE e ABC são semelhantes por terem lados paralelos. Sejam A_1, A_2 e A, respectivamente, suas áreas. Temos então \sqrt{\frac{A_1}{A}} = \frac{AD}{AB} e \sqrt{\frac{A_2}{A}} = \frac{DB}{AB}; somando essas igualdades, obtemos \frac{\sqrt{A_1} + \sqrt{A_2}}{\sqrt{A}} = \frac{AD + DB}{AB} = 1. Portanto, A = \left(\sqrt{A_1} + \sqrt{A_2}\right)^2 = A_1 + A_2 + 2\sqrt{A_1}\sqrt{A_2} e então a área de DECF é A_1 + A_2 + 2\sqrt{A_1}\sqrt{A_2} - (A_1 + A_2) = 2\sqrt{A_1 A_2}.

Ou seja, a área do paralelogramo DECF é o dobro da média geométrica das áreas dos triângulos ADF e DBE. No nosso problema temos A_1 = 16 e A_1 = 9, logo a área de DECF é 2\sqrt{16 \times 9} = 24.

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Resolução comentada

Pela figura, D está em AB, F está em AC e E está em BC. Como DE \parallel AC e DF \parallel BC, o quadrilátero CFDE é um paralelogramo.

Os triângulos ADF, DBE e ABC são semelhantes, pois têm lados paralelos e, portanto, ângulos iguais. Em triângulos semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança.

Razão entre ADF e DBE: \dfrac{16}{9}=\left(\dfrac{AD}{DB}\right)^2, logo \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{4}{3}.
Assim, AD=4k e DB=3k, e AB=7k.
A razão de semelhança de ADF para ABC é \dfrac{4k}{7k}=\dfrac47. Então \dfrac{16}{[ABC]}=\dfrac{16}{49}, e [ABC]=49.
Conferindo com DBE: \dfrac{9}{49}=\left(\dfrac37\right)^2. Confere.
A área do quadrilátero é o que sobra do triângulo grande:

[CFDE]=49-16-9=24

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem soma 16 + 9 = 25 em vez de calcular a área total 49 e subtrair.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem justificativa; não vem de nenhuma relação entre as áreas, como 49-16-9.
BNão corresponde à subtração correta; resulta de erro na área total do triângulo ABC.
DSoma 16 e 9 para obter 25, esquecendo de achar a área de ABC e subtrair.
EValor sem relação com as áreas; não sai de 49-16-9.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗