Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. De quantas maneiras ele pode pintar as regiões da bandeira da figura, cada uma com uma única cor, de modo que cada cor apareça pelo menos uma vez e que regiões adjacentes sejam pintadas com cores diferentes?

Bandeira retangular dividida em cinco regiões delimitadas por segmentos de reta: uma faixa transversal que cruza o retângulo da esquerda para a direita, dividindo-o com outras regiões triangulares e trapezoidais acima e abaixo dela

A
336
B
420
C
576
D
864
E
972

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. De quantas maneiras ele pode pintar as regiões da bandeira da figura, cada uma com uma única cor, de modo que cada cor apareça pelo menos uma vez e que regiões adjacentes sejam pintadas com cores diferentes?

Bandeira retangular dividida em cinco regiões delimitadas por segmentos de reta: uma faixa transversal que cruza o retângulo da esquerda para a direita, dividindo-o com outras regiões triangulares e trapezoidais acima e abaixo dela

A
336
B
420
C
576
D
864
E
972

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Chamemos de n_1 o número de maneiras diferentes que Paulo pode pintar a bandeira, de acordo com as condições do enunciado, usando pelo menos 3 cores dentre as 4 cores disponíveis, e de n_2 o número de maneiras diferentes que Paulo pode pintar a bandeira usando 3 cores diferentes, dentre as 4 que ele dispõe. A resposta ao nosso problema será n = n_1 - n_2.

[Figura: retângulo representando a bandeira dividida em seis regiões identificadas por A_1, B_1, C_1, C_2, B_2 e A_2]

Vamos supor que Paulo pinte a bandeira na sequência A_1B_1C_1C_2B_2A_2. Pelo princípio multiplicativo, temos n_1 = 4 \times 3 \times 2 \times 3 \times 3 \times 2 = 432. Por outro lado, para cada trio de cores diferentes temos 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 2 \times 1 = 24 maneiras diferentes de pintar a bandeira. Como Paulo tem 4 maneiras diferentes de escolher trios de cores diferentes, temos que n_2 = 4 \times 24 = 96. Logo n = 432 - 96 = 336.

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Resolução comentada

Observe que a figura tem seis regiões: duas na parte superior, duas faixas centrais e duas na parte inferior. Regiões adjacentes são aquelas que compartilham um trecho de fronteira.

Primeiro, contamos as pinturas que respeitam as adjacências, mesmo que alguma cor não apareça.

As duas regiões superiores e a faixa logo abaixo delas são adjacentes duas a duas. Portanto, precisam de três cores diferentes, com

4\cdot3\cdot2=24

possibilidades.
A segunda faixa deve ter cor diferente da primeira: são 3 escolhas. As duas regiões inferiores são adjacentes entre si e à segunda faixa, dando 3\cdot2=6 escolhas. Assim, o total é

24\cdot3\cdot6=432.

Agora excluímos as pinturas que não usam todas as quatro cores. Escolhida uma cor para ficar de fora, repetimos a contagem com apenas três cores:

3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot2\cdot1=24.

Como há quatro possibilidades de cor ausente, devemos retirar 4\cdot24=96 pinturas. Não há contagem repetida nessa exclusão, pois as três regiões superiores já exigem três cores distintas.

Logo, o número pedido é

432-96=\boxed{336}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BEquivale a excluir apenas 12 das 432 pinturas, quando 96 deixam uma cor sem uso.
CSupera as 432 pinturas possíveis que respeitam as adjacências, mesmo antes de exigir todas as cores.
DÉ o dobro das 432 pinturas que respeitam as adjacências e não exclui as que deixam uma cor sem uso.
ESupera o total de 432 pinturas permitido pelas restrições de adjacência.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗